Mathématiques - devoir preparation au capes à faire pour la rentrée

devoir preparation au capes à faire pour la rentrée
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Posted by: ROM_CAPES

Bonjour, j'ai un devoir à rendre à la rentrée en préparation au CAPES en maths, et j'ai un petit problème dans la partie analyse je ne sais pas tro quoi utiliser j'espère que vous allez mieux m'éclairer dessus

je rappelle un peu les notations du devoir avant..

I est un intervalle de : I = ]0,+inf[ ou [0,+inf[ ou ]-inf,0[ ou ]-inf,0] ou lui-même
On a l'équation : E(I) : f(x) = xf'(x/2)

f une application dérivable sur I dans C

On note S(I) l'ensemble des solutions de l'équation E(I)

On a établit Partie II . B. 1 : si f est un élément de S(I) alors par récurrence, pour tout n, f est (n+1)-fois dérivable sur I\{0} et pour tout x de I\{0}, f^(n)(x) = (x / 2^n)f^(n+1)(x/2)+ (n / 2^(n-1))f^(n)(x/2)

On utilise le résultat précédent dans la Partie III.A.1 et on montre que si fS(I), alors pour tout k, l'application x--> x^kf^(k)(x) appartient à S(I) en supposant I = ]0,+inf[

et donc on en vient à la partie III.A.2 ou j'ai un problème :

Soit f application de S(I) et non identiquement nulle et S(I) est un espace vectoriel sur C que l'on suppose de dimension finie

III.A.2.a Montrons que f est solution sur I d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre q où q est compris entre 1 et dim S(I).

Voilà ce que j'ai fait :

je propose une rédaction dites moi ce que vous en pensez...

Soit f application de S(I)
Donc d'après III.A.1 , pour tout entier naturel k, l'application x-->x^kf^(k)(x) appartient à S(I)
De plus, d'après II.A.1, S(I) est un espace vectoriel sur C non réduit à {0} et par hypothèse on sait que S(I) est de dimension finie.
On en déduit donc que ,pour m compris entre 1 et dimS(I), les applications x-->x^mf^(m)(x) sont linéairements indépendantes.

Par conséquent f est solution de l'équation : x^qf^(q)(x) + x^(q-1)f^(q-1)(x)+ ...+ xf'(x)+ f(x) = 0 équation différentielle linéaire homogène d'ordre q avec q compris entre 1 et dim S(I)

Notation: f^(n) désigne la dérivée n-ième de f

Mezrci de me répondre et me dire ce qui ne va pas dans ma redaction merci

Posted by: nuage

Salut,
à mon avis la fin est imprécise, même si l'idée est bonne :
Si N est la dimension de S(I) les N+1 applications $x\longrightarrow x^k f^{(k)}(x)\; k \in \{0...N\}$ sont linéairement dépendantes.
Il existe donc $a_0\,...\,a_k\,...\,a_N$ non tous nuls tels que $\bigsum_{k=0}^N a_k x^k f^{(k)}(x) = 0$
et q est la plus grande valeur de k telle que $a_k \not= 0$ .

A+

Posted by: ROM_CAPES

oui tu as raison!! pff c'est des choses de 1ere année de deug que je devrais maîtriser ! erf..merci beaucoup pour avoir soulever ma grosse erreur

Posted by: ROM_CAPES

Bonjour,

On trouve donc que f est solution de l'équation différentielle (non normale) linéaire homogène de degré q : (H) $a_qx^{q}f^{q}(x) +...+ a_1xf'(x) + a_0f(x) = 0$ où $q \in \{0 ; 1 ; 2 ; ... ; N\}$ avec N = dim S(I)

Par la suite on me demande d'en déduire que l'application y : $t \rightarrow f( e^t)$ de , $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{C}$ , est solution sur $\mathbb{R}$ d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre q à coefficients constants

Dans (H) j'ai remplacé x par $e^t$ et j'obtiens donc :

$a_qe^{qt}f^{q}(e^t) +...+ a_1e^tf'(e^t) + a_0f(e^t) = 0$

$\forall t \in \mathbb{R} , y(t) = f(e^t)$

y est dérivable sur $\mathbb{R}$ par composée de fonctions dérivables et donc on a :
$y'(t) = (f(e^t))' = e^tf'(e^t)$
d'où $f'(e^t) = \frac{y'(t)}{e^t}$

... et ensuite jpense qu'il faudrait trouver une relation de récurence pour trouver $y^(n)$ et ainsi trouver ce que l'on veut..

qu'en pensez-vous?

Posted by: Yipee

D'abord une remarque. Dans l'équation différentielle vérifiée par f, on ne peut pas supposer, a priori, que le coefficient de f est 1.

Maintenant ton idée est la bonne, il faut montrer - par recurrence - que $y^{(n)}$ est une combinaison linéaire de $f(e^t), e^t f'(e^t), \ldots, (e^t)^nf^{(n)}(e^t)$ . Puis réinjecter dans ton équation.

Posted by: ROM_CAPES

Bonjour,

oui merci j'ai oublié en réécrivant l'expression de mettre le coefficient $a_0$ devant f ^^