Mathématiques - devoir prépa CAPES

devoir prépa CAPES
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Posted by: ROM_CAPES

Bonjour, voilà donc je ne suis pas sûr d'une réponse à une question, j'aimerais savoir ce que vous en pensez.

Enoncé

Rappels de notations :
f est une application de I vers $\mathbb{C}$ avec I un intervalle de $\mathbb{R}$
On considère l'équation :
E(I) : $f(x) = xf'(\frac{x}{2})$ avec f dérivable sur I
On note S(I) l'ensemble des solutions de l'équation E(I)

Dans cette question, on suppose que I = $\mathbb{R}$
On considère $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ une application développable en série entière au point 0 ; il existe donc un réel strictement positif, noté R, ainsi qu'une suite complexe $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ , tels que $f \in C^{\infty}(]-R, R[)$ et
$\forall x \in ]-R, R[$ , $f(x) = \displaystyle {\sum_{n=0}^{+ \infty}} a_nx^n = \displaystyle {\lim_{p \rightarrow +\infty}} \displaystyle {\sum_{n=0}^{p}} a_nx^n$

Question : Montrer que : si $f \in S(\mathbb{R})$ alors f est polynomiale sur ]-R, R[ puis sur $\mathbb{R}$

Ma redaction

Supposons que $f \in S(\mathbb{R})$
Alors, $\forall x \in \mathbb{R} , f(x) = xf'(\frac{x}{2})$

$\forall x \in ]-R, R[ , f(x) = \displaystyle {\sum_{n=0}^{+ \infty}} a_nx^n$

f étant dérivable sur ]-R,R[ on a :
$\forall x \in ]-R, R[ , f'(x) = \displaystyle {\sum_{n=1}^{+ \infty}} na_nx^{n-1}$
donc, $\forall x \in ]-R, R[ , xf'(\frac{x}{2}) = \displaystyle {\sum_{n=1}^{+ \infty}} n2^{1-n}a_nx^{n} = \displaystyle {\sum_{n=0}^{+ \infty}} n2^{1-n}a_nx^{n}$

On a donc : $\forall x \in ]-R, R[ , f(x) = \displaystyle {\sum_{n=0}^{+ \infty}} n2^{1-n}a_nx^{n}$ ie $\displaystyle {\sum_{n=0}^{+ \infty}} a_nx^n = \displaystyle {\sum_{n=0}^{+ \infty}} n2^{1-n}a_nx^{n}$
ie $\displaystyle {\lim_{p \rightarrow +\infty}} \displaystyle {\sum_{n=0}^{p}} a_nx^n = \displaystyle {\lim_{p \rightarrow +\infty}} \displaystyle {\sum_{n=0}^{p}} n2^{1-n}a_nx^{n}$

On doit donc avoir $\forall n \in {0, ...,p}$ , $n2^{1-n} = 1$
Auparavant, on a déjà étudié l'application $t \rightarrow t2^{1-t}$ et on a montré notamment que l'ensemble des solutions de l'équation $t2^{1-t} = 1$ ,d'inconnue réelle t , est l'ensemble {1,2}

On doit donc avoir nécessairement ici $n \in$ {1,2}.

Si $f \in S(\mathbb{R})$ , alors $\forall x \in ]-R, R[$ , $f(x) = a_1x + a_2x^2$ où $a_1,a_2 \in \mathbb{C}$ et donc f est polynomiale sur ]-R, R[ et même sur $\mathbb{R}$ (evident)

Merci de m'éclairer sur les erreurs que j'ai pu faire

ROM

Posted by: quinto

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Posté par ROM_CAPES

donc f est polynomiale sur ]-R, R[ et même sur $\mathbb{R}$ (evident)

Pourquoi c'est évident?

Posted by: ROM_CAPES

oups oui c'est sût ça ne l'est pas mais je ne sais pas comment le justifier

Posted by: kms040584

Salut,
j'ai regarde rapidement ta réponse, mais j'ai une remarque, ton passage
$\displaystyle {\lim_{p \rightarrow +\infty}} \displaystyle {\sum_{n=0}^{p}} a_nx^n = \displaystyle {\lim_{p \rightarrow +\infty}} \displaystyle {\sum_{n=0}^{p}} n2^{1-n}a_nx^{n}$
à 'on doit donc avoir....' me semble louche...ne vaut t'il pas mieux parler d'unicité de développement en série entière?
++

Posted by: quinto

Citation:

Posté par ROM_CAPES

oups oui c'est sût ça ne l'est pas mais je ne sais pas comment le justifier

Tu dis que c'est évident, mais tu ne sais pas le justifier, c'est drôle...
Tu sais qu'en oral ça t'aurais fait très mal ...

Que peux tu dire de deux fonctions développables en série entière et égales sur un ensemble possédant un point d'accumulation?

Posted by: ROM_CAPES

Je connais ce résultat que j'avais vu en analyse complexe cette année.
Si f est un développement en série entière sur un domaine U de $\mathbb{C}$ et si Z(f) = { $z \in U , g(z) = 0$ } admet un point d'accumulation $a \in Z(f)$ dans U alors f est nulle au voisinage de a

Posted by: quinto

Citation:

Posté par ROM_CAPES

Ce n'est pas le résultat dont je parle (bien qu'il puisse s'en déduire).
Si deux séries entières sont égales sur un ensemble possèdant un point d'accumulation, alors elles sont égales partout.
C'est le principe d'identité.

Ca te dit qu'il y'a un genre de manque de souplesse pour les fonctions développables en série entière. Tu ne peux pas faire n'importe quoi avec une fonction développable en série entière, en ce sens que si tu fixes quelque points, tu as fixé toutes ses valeurs.

En fait, je pense que l'on aurait facilement conclu sans ce résultat, mais avec un peu de calculs.
a+

Posted by: ROM_CAPES

Citation:

Posté par ROM_CAPES

On a donc : $\forall x \in ]-R, R[ , f(x) = \displaystyle {\sum_{n=0}^{+ \infty}} n2^{1-n}a_nx^{n}$ ie $\displaystyle {\sum_{n=0}^{+ \infty}} a_nx^n = \displaystyle {\sum_{n=0}^{+ \infty}} n2^{1-n}a_nx^{n}$
ie $\displaystyle {\lim_{p \rightarrow +\infty}} \displaystyle {\sum_{n=0}^{p}} a_nx^n = \displaystyle {\lim_{p \rightarrow +\infty}} \displaystyle {\sum_{n=0}^{p}} n2^{1-n}a_nx^{n}$

On doit donc avoir $\forall n \in {0, ...,p}$ , $n2^{1-n} = 1$

J'ai du mal avec ce passage, je ne sais pas comment le rédiger

Quinto merci pour ton aide ça m'a bien aidé, je ne sais pas si j'avais deja vu ce résultat quoique j'ai du l'oublier

Posted by: ROM_CAPES

il faut peut être exprimer cette série en série de Taylor plutôt non?

Théorème : Soit f développable en série entière à l'origine, alors f est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ au voisinage de 0, et cette série entière est la série de Taylor : $\displaystyle {\sum_{n=0}^{+\infty}}\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}$

merci

Posted by: kms040584

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Posté par ROM_CAPES

J'ai du mal avec ce passage, je ne sais pas comment le rédiger

Quinto merci pour ton aide ça m'a bien aidé, je ne sais pas si j'avais deja vu ce résultat quoique j'ai du l'oublier

Salut, normalement il n'y pas trop de redaction pour cette partie. Tu ecris ton égalité, tu passes la partie de droite a gauche, puis sous le même signe somme, et ensuite tu as Somme ( ) = 0 or 0 est bien developpable en série entière avec tous les "an" égaux a 0. Ce developpement, s'il existe (ici c'est le cas), est unique. Donc tous les "an" de gauche sont egaux aux "an" de la fonction nulle, qui sont justement nuls. Donc pour tout n, an de gauche = 0
voila, je sais pas si c'etait la ton pb
a plus
K.

Posted by: quinto

Salut,
si c'est un polynôme de degré n sur (-R,R) R>0, dérive n+1 fois et tu as la fonction nulle.
Ainsi ta série (dérivée n-ieme) est nulle sur un ouvert non vide, donc est nulle partout, et donc ta fonction de départ est un polynôme de degré au plus n (en fait on peut montrer que c'est exactement n)

Posted by: ROM_CAPES

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Posté par kms040584

mais tous les $a_n$ ne sont pas nuls, en fait on trouve bien que les $a_n$ sont nuls pour $n \in \mathbb{N}$ \{1,2}

si f est développable en série entière au point 0, alors il existe $a,b \in \mathbb{C}$ tels que f(x) = ax + bx² pour $x \in ]-R,R[$

Oui en fait le point délicat de cette question se situe dans montrer que f est polynomiale sur $\mathbb{R}$ mais Quinto m'a donné une méthode

merci!

Posted by: mathématicien arabe

slt . Si g bien lu la question posée je pense qu on doit monter ceci : si F est solution de l equa donée... implque que F est développable en séries entiéres au vois de 0 .Mais ce que tu es entrain de faire c est de démontrer l inverse ( i.e l implication réciproque..)et ce qui n est pas démandé par la question. Sinon ca serait un peu facile puisequ on connait que si F est developpable ne séries entiéres alors elle est de classe C l infini ( donc on peut dériver terme a terme....). Donc si je me suis pa trompé il faut revoir la question posée .MERCI

Posted by: quinto

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Posté par mathématicien arabe

slt . Si g bien lu la question posée je pense qu on doit monter ceci : si F est solution de l equa donée... implque que F est développable en séries entiéres au vois de 0 .

Moi j'ai lu: "supposons f DES, alors montrer que ...."
ce qui n'est pas du tout la même chose que ce que tu dis.
Peut être parles tu d'une autre question.

Posted by: mathématicien arabe

bsr. non essayer de bien lire la question . il a di si F appartient a l ensemble de sol de l equa donnée alors F est polynomiale ( dev en séries entiéres). A revoir donc