Devoir de maths pour jeudi terminale S

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Duche054
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Devoir de maths pour jeudi terminale S

par Duche054 » 23 Sep 2007, 16:01

J'ai un devoir de maths, j'ai fait toute une première partie mais je bloque totalement sur la deuxième partie.

f(x)=(x/2)+(1/(2x))

Soit u(n) la suite définie par :
u(0)=3
pour tout n appartenant à N, u(n+1)=f(u(n))

1°) On admet que pou tout n appartenant à N,
1 < u(n) <(=) 5
Etudier le sens de variations de (u(n))

2°) Soit (v(n)) la suite définie pour tout n appartenant à N par :
v(n)=u(n)-1 --->

a) Démontrer, en utilisant la méthode par récurrence, que pour tout n appartenant à N :
v(n) > 0
v(n+1)=((u(n)-1)^2)/(2u(n))

b) En déduire que pour tout n appartenant à N :
v(n+1)=((1/2)-(1/(2u(n))))v(n)

puis que :

v(n+1) <(=) (1/2)v(n)

c) En écrivant successivement l'inégalité pour n=0, n=1, ... démontrer que :
v(n) <(=) ((1/2)^n)v(0)

d) En déduire la limite de (v(n)) puis celle de (u(n)).


Merci d'avance pour ceux qui pourront m'aider ...

---------------------------------------------------------------------------
1°) J'ai dit ca en gros :

Pour tout n appartenant à N, 1 < u(n) <(=) 5

u(n+1)=(u(n)/2) + (1/(2(u(n))))

donc u(n+1) - u(n) = (1/(2(u(n)))) - ((u(n))/2)

On a 1 < u(n) <(=) 5 donc u(n+1) - u(n) <(=) 0 donc la suite (u(n)) est décroissante sur ]1;5].


2°)

* 1 < u(n) <(=) 5

Je sais que v(n) = u(n) - 1

alors comme
1 < u(n) <(=) 5, on a
0 < u(n) - 1 <(=) 4
0 < v(n) <(=) 4

donc pour tout n appartenant à N, v(n) > 0

EST-CE CORRECT ??

---------------------------------------------

* Soit P(n) la propriété "v(n+1)=((u(n)-1)^2)/(2u(n))"

INITIALISATION : Vérifions que P(n) est vrai pour n=1
- membre de gauche : v(1) = u(1) - 1 = 8/5
- membre de droite : ((u(0)-1)^2) / (2u(0)) = 16 / 10 = 8/5
Donc P(1) est vraie

Là je bloque totalement, si quelqu'un pourrait m'aider ????


Il faudrait réussir à démontrer que
*v(n) > 0
*v(n+1)=((u(n)-1)^2)/(2u(n))
en utilisant la méthode par récurrence, mais je vois pas comment faire, si quelqu'un pourrait m'aider svp !!!



Duche054
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par Duche054 » 23 Sep 2007, 18:13

Personne ne veut m'aider ??

Duche054
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par Duche054 » 23 Sep 2007, 19:01

SVP j'y arrive vraiment pas !!!! J'ai beau essayer, je n'y arrive pas. Si quelqu'un pourrait me donner rien que des pistes ...

Duche054
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par Duche054 » 27 Sep 2007, 07:13

Merci pour votre aide :S

 

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