J'ai un devoir de maths, j'ai fait toute une première partie mais je bloque totalement sur la deuxième partie.
f(x)=(x/2)+(1/(2x))
Soit u(n) la suite définie par :
u(0)=3
pour tout n appartenant à N, u(n+1)=f(u(n))
1°) On admet que pou tout n appartenant à N,
1 < u(n) <(=) 5
Etudier le sens de variations de (u(n))
2°) Soit (v(n)) la suite définie pour tout n appartenant à N par :
v(n)=u(n)-1 --->
a) Démontrer, en utilisant la méthode par récurrence, que pour tout n appartenant à N :
v(n) > 0
v(n+1)=((u(n)-1)^2)/(2u(n))
b) En déduire que pour tout n appartenant à N :
v(n+1)=((1/2)-(1/(2u(n))))v(n)
puis que :
v(n+1) <(=) (1/2)v(n)
c) En écrivant successivement l'inégalité pour n=0, n=1, ... démontrer que :
v(n) <(=) ((1/2)^n)v(0)
d) En déduire la limite de (v(n)) puis celle de (u(n)).
Merci d'avance pour ceux qui pourront m'aider ...
---------------------------------------------------------------------------
1°) J'ai dit ca en gros :
Pour tout n appartenant à N, 1 < u(n) <(=) 5
u(n+1)=(u(n)/2) + (1/(2(u(n))))
donc u(n+1) - u(n) = (1/(2(u(n)))) - ((u(n))/2)
On a 1 < u(n) <(=) 5 donc u(n+1) - u(n) <(=) 0 donc la suite (u(n)) est décroissante sur ]1;5].
2°)
* 1 < u(n) <(=) 5
Je sais que v(n) = u(n) - 1
alors comme
1 < u(n) <(=) 5, on a
0 < u(n) - 1 <(=) 4
0 < v(n) <(=) 4
donc pour tout n appartenant à N, v(n) > 0
EST-CE CORRECT ??
---------------------------------------------
* Soit P(n) la propriété "v(n+1)=((u(n)-1)^2)/(2u(n))"
INITIALISATION : Vérifions que P(n) est vrai pour n=1
- membre de gauche : v(1) = u(1) - 1 = 8/5
- membre de droite : ((u(0)-1)^2) / (2u(0)) = 16 / 10 = 8/5
Donc P(1) est vraie
Là je bloque totalement, si quelqu'un pourrait m'aider ????
Il faudrait réussir à démontrer que
*v(n) > 0
*v(n+1)=((u(n)-1)^2)/(2u(n))
en utilisant la méthode par récurrence, mais je vois pas comment faire, si quelqu'un pourrait m'aider svp !!!