devoir maison

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Posted by: danet

Bonjour, voilà le sujet de ce devoir

Dans ce devoir, tout en cherchant, essaie de raconter avec le plus de précision possible comment tu as résolu ce problème. Explique toutes tes idées, les remarques que tu as pu faire, les observations qui t'ont fait changer de méthode, ou qui t'ont fait avancer dans ta recherche.
Enoncé:
On cherche à déterminer le nombre de segments que l'on peut tracer avec un nombre de points donnés. Complète le tableau suivant :
Avec je peux tracer
1 point 0 segments
2 " 1 "
3 "
4 "
5 "
12 "
20 "
108 "
n points ( n un entier positif)
__________________________________________________ ________

Je touve pour 3 pts 3 segments,pour 4 pts 6 segments, pour 5pts 10 segments; mais j'ai du mal à pousuivre, j'aimerai être mise sur la voie. Merci


Posted by: Easyblue

Citation:
Posté par danet
Bonjour, voilà le sujet de ce devoir

Dans ce devoir, tout en cherchant, essaie de raconter avec le plus de précision possible comment tu as résolu ce problème. Explique toutes tes idées, les remarques que tu as pu faire, les observations qui t'ont fait changer de méthode, ou qui t'ont fait avancer dans ta recherche.
Enoncé:
On cherche à déterminer le nombre de segments que l'on peut tracer avec un nombre de points donnés. Complète le tableau suivant :
Avec je peux tracer
1 point 0 segments
2 " 1 "
3 "
4 "
5 "
12 "
20 "
108 "
n points ( n un entier positif)
__________________________________________________ ________

Je touve pour 3 pts 3 segments,pour 4 pts 6 segments, pour 5pts 10 segments; mais j'ai du mal à pousuivre, j'aimerai être mise sur la voie. Merci


Je ne sais pas si tu va bien comprendre mon explication mais bon, onva essayer.
On commence par un exemple simple.
Si tu as trois points, tu remarque que le premier point est relié au deux autres, ce qui donne 2 segments. Le deuxième point est aussi relié au deux autre mais tu as déjà compté un segment avec le premier point, ce qui donne 1 segmeent en plus. Le troisième point est lui aussi relié au autres mais tu as déjà compté ces deux segments, ce qui donne 0 segment en plus.
Finalement, tu as 2+1+0=3 segments.

Si tu essaye avec les autres nombres de points, tu verras que le principe est le même à chaque fois.
Par contre si tu connais les C_n^k il doit y avoir plus simple.


Posted by: rene38

Bonsoir

Une autre approche :
chacun des points est relié à chacun des autres :
chacun des n points est relié à chacun des n-1 autres ;
mais en disant ceci, on compte chaque segment 2 fois ([AB] et [BA] par exemple)
donc ...


Posted by: danet

Désolé, mais je ne comprends toujours pas.


Posted by: yvelines78

bonjour,

Avec je peux tracer
1 point 0 segments
2 " 1 "(2-1)+(2-2)=1+0=1=2*2-(2+1)
3 "(3-1)+3-2)+(3-3)=2+1+0=3=3*3-(3+2+1)
4 "(4-1)+(4-2)+(4-3)+(4-4)=3+2+1+0=6=4*4-(4+3+2+1)
5 "((5-1)+(5-2)+(5-3)+(5-4)+(5-5)=4+3+2+1+0=10=5*5-(5+4+3+2+1)
12 "(12-1)+(12-2)+12-3)+.........+(12-12)=11+10+9+......+0=12*12-(12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1+)=144-78=66
20 "=20*20-(20+19+18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+ 1)=400-132-78=400-210=190
108 "=108*108-(108+107+106+105+104+103+102+101+100)-(99+98+97+96+95+94+93+92+91+90)-(89+.......+1)
=11664-(9*100+36)-(10*90+45)-(10*80+45)-(10*70+45)-(10*60+45)-(10*50+45)-10*40+45)-(10*30+45)-(10*20+45)-(10*10+45)-45
=11664-936-45*10-100*45
=5778
je n'en suis pa sûre!!!!
n points ( n un entier positif)
=n*n-[n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+(n-4)+.......(n-n)]


Posted by: rene38

Citation:
Posté par rene38
chacun des n points est relié à chacun des n-1 autres ; mais en disant ceci, on compte chaque segment 2 fois ([AB] et [BA] par exemple) donc ...
... .
4$ \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline nombre\ de\ points&calcul&nombre\ de\ segments\\\hline 1& &0\\\hline 2&2\times 1/2&1\\\hline 3&3\times 2/2&3\\\hline 4&4\times 3/2&6\\\hline5&5\times 4/2&10\\\hline12&12\times 11/2&66\\\hline 20&20\times 19/2&190\\\hline 108&108\times 107/2&5778\\\hline n&n\times (n-1)/2 &\\\hline\end{tabular}


Posted by: danet

OK, mais pour le calcul, comment l'obtient on ?
n * (n-1) ok mais pourquoi diviser par deux.
Je voudrai comprendre, je suis en 4ème.
Merci.


Posted by: Quidam

Citation:
Posté par rene38
Bonsoir

Une autre approche :
chacun des points est relié à chacun des autres :
chacun des n points est relié à chacun des n-1 autres ;
mais en disant ceci, on compte chaque segment 2 fois ([AB] et [BA] par exemple)
donc ...

Pour illustrer ce qu'a dit rené38 :
Tu fais un tableau carré comme ceci : une ligne pour chaque point, une colonne pour chaque point, et à l'intersection de la colonne de A et de la ligne de C (par exemple), tu écris le segment qui joint ces deux points : AC ! Comme ça tu as tous les segments possibles non ?
\Large \begin{pmatrix} &|&A & B&C&D \\ -&| &-&-&-&-\\ A &| & AA&AB&AC&AD \\ B &| & BA&BB&BC&BD \\ C &| & CA&CB&CC&CD \\ D &| & DA&DB&DC&DD \end{pmatrix}
Combien y en a-t-il ? n * n soit n² segments !
Mais il y en a trop ! D'abord, le segment AA ne compte pas, ni le segment BB, ni CC, ni DD.
\Large \begin{pmatrix} &|&A & B&C&D \\ -&| &-&-&-&-\\ A &| & &AB&AC&AD \\ B &| & BA& &BC&BD \\ C &| & CA&CB& &CD \\ D &| & DA&DB&DC& \end{pmatrix}
Finalement on en a enlevé n : il en reste n²-n soit n*(n-1)
Mais il y en a encore trop ! En effet au croisement de la ligne de A et de la colonne de C, tu as écrit AC ! Mais au croisement de la ligne de C et de la colonne de A, tu as écrit CA. Mais CA et AC, c'est le même segment ! Et tu peux constater que tous les segments sont comptés deux fois : AC et CA, AD et DA, BC et CB, etc...Il faut donc diviser par deux le nombre trouvé. Le tableau final est donc :
\Large \begin{pmatrix} &|&A & B&C&D \\ -&| &-&-&-&-\\ A &| & &AB&AC&AD \\ B &| & & &BC&BD \\ C &| & & & &CD \\ D &| & & & & \end{pmatrix}
Le nombre de segments est donc : n(n-1)/2 !


Posted by: danet

Merci, je pense avoir bien compris.
A bientôt.










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