Devoir Maison

par **Guitouze** » 02 Nov 2009, 18:28

Bonjour à tous.

J'ai un Devoir de mathématique sur les Fonctions polynômes. Après beaucoup recherche je suis tombé sur votre site qui m'a l'air très sérieux et efficace.
Voilà donc mon problème :

° On considère P le polynôme défini par P(x) = 2x(au cube) - 5x² + x + 3

a) Montrer que 3/2 est une racine de P. J'ai déjà traité cette question :)

b) Prouver qu'il existe 3 réels a, b et c que l'on déterminera tels que : P(x) = (x-3/2)(ax² + bx + c)
Je bloque sur cette question... en effet, je ne la comprend pas trop :(

c) En déduire ensuite les racines de P (je connais la technique mais il faut que je réponde à la question précèdente...)

J'espère qu'une ou plusieurs personnes pourront m'aidé.. j'ai quelques problèmes dans la suite de mon devoir maison... mais la... je bloque vraiment trop alors que s aà l'air tout bête... je vous en remercie par avance :D

par **Ericovitchi** » 02 Nov 2009, 18:33

Il te suffit d'effectuer le produit

puis de dire que chaque terme du polynôme est identique au terme équivalent de

Ca te fera un système et tu trouveras a,b,c

par **LeFish** » 02 Nov 2009, 18:42

En utilisant le fait que " Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients de même degrés sont égaux".

par **Guitouze** » 02 Nov 2009, 19:18

Tout d'abord, merci à vous de vos Réponses aussi rapide Ericovitchi et LeFish =D

Je viens de d'effectuer le produit de (x-3/2)(ax^2 + bx + c) comme tu me l'as conseillé Ericovitchi. J'en suis arrivé à l'équation suivante :
ax^3 + bx^2 + cx - 3/2ax^2 - 3/2bx -3/2c

Je sais que je suis en Première S et que theoriquement je devrais trouver... mais je n'ai pas compris l'histoire du système à faire et donc quoi faire de cette équation...

par **Guitouze** » 02 Nov 2009, 19:43

Je suis désolé pour le Double post... (Je ne sais pas si c'est autorisé... je n'ai pas prit le temps de lire votre charte... je bataille trop sur mon Devoir Maison à vrai dire :S)

Je pence avoir trouvé par rapport à la définition que tu m'as donné LeFish.
En effet, en réunissant ce que tu m'as dit et de ce que m'a dit Ericovitchi en disant que chaque terme du Polynôme était identique au terme equivalent de ce de P(x). J'ai mit en commun P(x) et Ma nouvelle équation que Ericovitchi m'a5x² conseillé de développer... J'en suis arrivé à :
ax(au cube) = 2x(au cube) soit a = 2
cx = x soit c = 1
(-3/2)ax² = -5x² soit b (après calcul) donnerait 10/3
Est-ce que quelqu'un pourrait me confirmer ou non ce développement algébrique... Merci par avance =D

par **LeFish** » 02 Nov 2009, 19:55

C'est la bonne méthode, sauf que pour alléger les calculs, pas besoin de mettre les x^3, les x², les x, de chaque côté ^^.

Donc on a

c'est à dire

Donc

Et la suite à toi de faire !

par **Guitouze** » 02 Nov 2009, 20:53

Je te remercie beaucoup LeFish pour ton aide =DDDDD
J'arrive donc à a = 2
b = -2
c = -2
Pour la question c) ça me donne P(x) = (x - 3/2)(2x²-2x-2)
Pour trouver les racines, il ne me reste plus qu'à faire Delta sur 2x²-2x-2

Merci car sans vous je n'aurai jamais pu me dépatouiller tout seul!!

J'ai donc un deuxième problème par la suite... On me donne la fonction f(x) = (-5x+1)/(2x²+x+1)

a) Démontrer que cette fonction est définie sur R (j'ai deja repondu!)

b) Déterminer le signe de f(x)+1 (je sais que c'est positif mais je ne sais comment le démontrer clairement) puis celui de f(x)-4 (je sais aussi que que c'est négatif mais pareil, je ne sas comment le démontrer clairement!). En déduire que Cf est entièrement à l'intèrieur de la bande délimité par les droites d'équation y = -1 et y =4

Si vous pouviez m'aider à trouver la piste de démarchage comme précédemment... je vous en remercie encore :D

par **Ericovitchi** » 02 Nov 2009, 21:11

il faut poser (-5x+1)/(2x²+x+1) +1 , simplifier et montrer que c'est positif
(Ca s'écrit (2 (x^2-2 x+1))/(2 x^2+x+1) donc 2(x-1)²/ (2 x^2+x+1) donc on voit bien que c'est positif

Idem pour (-5x+1)/(2x²+x+1) -4
Ca s'écrit (-8 x^2-9 x-3)/(2 x^2+x+1) qui est toujours négatif
(le numérateur n'a pas de racines réelles donc est du signe de a donc négatif)

par **Guitouze** » 03 Nov 2009, 11:31

Je te remercie beaucoup Ericovitchi de ton aide =D J'ai développé tout le cheminement que tu m'a dit et j'y suis arrivé grâce à vous

Mais Il me dise ensuite Expliquer pourquoi -1 est un minimum de f mais que 4 n'est pas un maximum... comment je peux démontrer ça...

Encore merci beaucoup de votre aide précieuse =DDD

par **Guitouze** » 03 Nov 2009, 18:25

Personne peut m'aider s'il vous plait... :(

par **Ericovitchi** » 03 Nov 2009, 18:45

tu as montré que (-5x+1)/(2x²+x+1) +1 est toujours positif donc (-5x+1)/(2x²+x+1) > - 1
C'est un minimum (à condition qu'il soit atteint évidemment)
Mais il l'est pour x=1

tu as montré que (-5x+1)/(2x²+x+1) -4 <0 donc 4 est un majorant de la fonction. C'est un maximum s'il est atteint.

L'est-il ? Essayes de résoudre (-5x+1)/(2x²+x+1) = 4
ramènes le à un polynôme du second degré et montre qu'il n'a pas de racine.

(En fait la fonction (-5x+1)/(2x²+x+1) atteint son maximum en x=-3/5 et il vaut 25/7 donc 4 n'est jamais atteint)

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