développements limités

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Posted by: may prepa

bonjours,
je bloque sur une question de mon dm de math .
J'ai montrer que ln(n!)-nln(n)~-n (pour n->infini)
On pose Un= ln(n!)-nln(n)+n-(1/2)*ln(n)
La question est : quand n ->infini déterminer à l'aide du développement limité en 0 de x->ln(1+x), un équivalent de Un-U(n+1) de la forme A/(n^2) avec A constante réelle.
Grace à l'équivalence ln(n!)-nln(n)~-n (pour n->infini) j'ai pu montrer que Un-U(n+1)=(1/2)*ln(1+(1/n))

Mais je ne comprend pas à quel ordre il faut faire le développement limité, et comment obtenir une constante réelle au numérateur.

Si quelqu'un pouvait m'aider svp.


Posted by: emdro

Citation:
Posté par may prepa
La question est : quand n ->infini déterminer à l'aide du développement limité en 0 de x->ln(1+x), un équivalent de Un-U(n+1) de la forme A/(n^2) avec A constante réelle.
Grace à l'équivalence ln(n!)-nln(n)~-n (pour n->infini) j'ai pu montrer que Un-U(n+1)=(1/2)*ln(1+(1/n))


Bonjour,

revois ton calcul pour Un-U(n+1)=(1/2)*ln(1+(1/n)) qui m'a l'air faux.

Fais attention à l'utilisation des équivalents lorsque tu cherches un développement limité, et quand tu additionnes.
exemple en 0:
ln(1+x) est équivalent à x
-x est équivalent à -x,
or ln(1+x)-x n'est pas équivalent à 0...


Posted by: emdro

En calculant directement, tu dois avoir u_n-u_{n+1}=\(n+\frac12\)ln\(1+\frac 1n\)-1, non?

C'est à ce moment que tu pourras utiliser le DL de ln(1+x).


Posted by: may prepa

merci du conseil, c'était ma première idée mais je ne comprend pas alors à quoi me sert la question précédente c'est ce qui m'a mis dans l'erreur...je vais essayer de cette façon merci beaucoup!


Posted by: emdro

Je comprends, que cela puisse te mettre dans l'erreur.

Je pense que l'idée du sujet est la suivante:
on prend ln(n!)-nln(n) et on montre que c'est équivalent à -n.
Alors pour pousser les choses un peu plus loin, on regarde
ln(n!)-nln(n)+n, (qui justement ne tendra pas vers 0, contrairement à ce qu'on aurait pensé si on avait additionné les équivalents)

En fait cela tend vers +oo, et se comporte comme 1/2 ln(n)

Donc on pose cette fois
Un= ln(n!)-nln(n)+n-(1/2)*ln(n).
Et là, on cherche un équivalent. Mais c'est beaucoup plus fort comme résultat que la réponse à la première question.

Tu comprends?


Posted by: may prepa

oui ok merci je comprend mieux le but de la question maintenant ...










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