developpements limités

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Posted by: minoucha31

slt à tous!!
Voilà j aimerais bien que quelqu un confirme mes résultats*:

calculer les limites quand x->0 de :
¤ lim( sqrt(1+2x) - (1+x)) / (x^2)
¤ lim ( 1/x - 1/sinx )
¤ lim ( (1+x)^(1/x) - e ) / x
¤ lim (cosx - sqrt(cos2x)) / (x^2)
¤ lim (sqrt(1+x) - sqrt(1-x) ) / (e^x - 1)

moi je trouve:
¤ 0
¤ 0
¤ -e/2
¤ 3/2
¤ 1 .........MERCI D AVANCE....


Posted by: XENSECP

Ecris en Latex ;)


Posted by: minoucha31

Citation:
Posté par XENSECP
Ecris en Latex ;)


ok mais comment fait-on*??


Posted by: XENSECP

Ba tu écris tes formules dans le pti encadré qui apparait quand tu clique sur "TEX" ;)


Posted by: minoucha31

c est bon c est fait j espere que vous arrivez mieu à lire*


Posted by: XENSECP

pour racine tu mets : sqrt(...) et là ce sera parfait je pense ;)


Posted by: minoucha31

ben ça yest c aussi fait !!!!!


Posted by: XENSECP

Pour la deuxième c'est faux déjà ;)


Posted by: minoucha31

ben je trouve pourtant -(x^3) / 6(x^2) jsuis allée jusqu à lordre 3*


Posted by: XENSECP

Autant pour moi ;) Faut que j'aille me coucher, car j'avais fait le bon calcul pourtant ^^


Posted by: minoucha31

mdr , et pour les autres??


Posted by: xyz1975

Bonsoir,
est ce que le but est de calculer la limite ou alors faire le DL ensuite déduire la limite?


Posted by: minoucha31

nn que juste de calculer la limite, mais le plus facil cest de le faire à partir du DL à mon avis*


Posted by: xyz1975

Pour la première :
\sqrt{1+2x}=1+x-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)
donc :
\frac{\sqrt{1+2x}-(1+x)}{x^2}=\frac{-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)}{x^2}=-\frac{1}{2}+o(1)


Posted by: xyz1975

La limite est donc -1/2.
Remarque : Lorsqu'un individu dans la rue vous demande : égal à quoi la limite de o(1) lorsque x tend vers quoi que ce soit, vous répondez par la limite est nulle.


Posted by: xyz1975

Pour la deuxième je pense qu'elle est mal écrite.
Ce n'est pas par hasard :
\frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)}


Posted by: minoucha31

a oui cest vrai ma foi, jai fais une ptite étourderie jai dis que (2x)^2 ça fesait 4x^4


Posted by: xyz1975

\frac{1}{sin(x)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{6}x+o(x)
donc
\frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)}=-\frac{1}{6}x+o(x)


Posted by: xyz1975

La limite est donc 0.


Posted by: xyz1975

Je ne vois pas la 3ième limite, elle est mal écrite..


Posted by: xyz1975

Je pense que j'ai reconnu la limite.
\frac{1}{x}[(1+x)^{\frac{1}{x}}-e] on écrit alors avec la fonction logarithme et exponentielle :
\frac{1}{x}[(1+x)^{\frac{1}{x}}-e]=\frac{1}{x}[e^{\frac{1}{x}ln(1+x)}-e]
On sait que :
ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)
Donc
\frac{1}{x}[e^{\frac{1}{x}ln(1+x)}-e]=\frac{1}{x}[e^{1-\frac{1}{2}x+o(x)}-e]
\frac{1}{x}[e^{1-\frac{1}{2}x+o(x)}-e]=\frac{1}{x}[e.e^{-\frac{1}{2}x+o(x)}-e]=\frac{1}{x}[e(e^{-\frac{1}{2}x+o(x)}-1)]


Posted by: xyz1975

C'est une limite usuelle (on n'a pas besoin de faire un DL de l'exponentielle) la limite est -e/2










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