Développements limités ln

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Posted by: Shargat

Bonjour.

Voilà la question:
Montrons que pour tout t>-1

ln(1+t)= t - t^2/2 + t^3/3 + t^3/3E(t)

On reconnait le DL particulier pout t au voisinage de 0 mais pour un t général faut-il forcément repasser par les dérivées successives de ln et appliquer la formule de Taylor Young?

Merci d'avance.


Posted by: yos

Mais c'est Taylot-Young qui te donne le DL.


Posted by: Shargat

Oui mais Taylor Young c'est pour t au voisinage de 0?

Or là c'est tout t>-1...


Posted by: emdro

Bonjour,

Tu veux dire un DL en a en général par rapport au tien qui est en 1?

Si c'est le cas, tu écris ln (a+t)=lna+ln(1+t/a) et tu utilises ton développement précédent.

Le t lui est nécessairement au voisinage de 0.


Posted by: yos

Citation:
Posté par Shargat
Oui mais Taylor Young c'est pour t au voisinage de 0?

Or là c'est tout t>-1...

On s'en tape car tout ce qu'on veut sur E(x), c'est qu'il tende vers 0 en 0.


Posted by: Shargat

Je pige pas car selon Taylor Young cete formule de Ln(1+T) n'est valable que pour t au voisinage de 0...


Posted by: emdro

Disons que cette formule ne nous intéresse qu'au voisinage de 0.

Pour imager, c'est une généralisation de l'approximation d'une courbe par sa tangente. A quoi bon le faire loin du point de contact?


Posted by: yos

Pose E(t)=\left[\ln(1+t)-(t-t^2/2+t^3/3)\right]\times\frac{3}{t^3} pour t non nul et regarde ce que ça te fait.


Posted by: quinto

Citation:
Posté par Shargat
Je pige pas car selon Taylor Young cete formule de Ln(1+T) n'est valable que pour t au voisinage de 0...


Le que pour est de trop, il n'y a rien dans le théorème de Taylor-Young qui te dit que c'est faux ailleurs.
En fait, le développement est vrai sur le plus grand ouvert sur lequel la fonction est holomorphe (développable en série entière). Ici ln(1+t) est holomorphe sur le disque de centre 0 et de rayon 1, donc on a bien le développement de Taylor sur ce disque, donc pour t réel, ca correspond bien à -1<t<2


Posted by: fahr451

bonjour

tant que tu ne dis pas ce que fait la fonction E ...


on a aussi pour t >-1 et t non nul

ln(1+t) = t - 1700000000t^3 +t^3E1(t)










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