Mathématiques - développement limité

développement limité
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Posted by: carol

bonsoir à tous
comment peut on calculer le développement limité au voisinage de 0 de f(x)=e^(x)*ln(1+x)
ainsi que de g(x)=ln(1+tan x)/(1-tan x)
merci beaucoup de l'aide que vous pourrez m'apporter.si vous arriver a résoudre cela pouvez vous m'expliquer clairement comment faire pour calculer un développement limité car je ne comprends vraiment pas bien comment il faut faire.
merci encore

Posted by: Chimerade

Tu as deux méthodes. Soit tu calcule les dérivées successives :

f'(x0), f''(x0), f'''(x0), ... etc

et tu appliques la formule :

$\Large f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f^\prime(x0)+\frac{(x-x_0)^2}{2!}f^{\prime\prime}(x_0)+\frac{(x-x_0)^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(x_0)+...$

Soit tu multiplies les développements limités des deux fonctions, comme des polynômes :

Si
$\Large f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x0)^2+...+a_n(x-x_0)^n+...$
et
$\Large g(x)=b_0+b_1(x-x_0)+b_2(x-x0)^2+...+b_n(x-x_0)^n+...$
alors, si h(x)=f(x)*g(x),

$h(x)=a_0 b_0+(x-x_0)\times(a_0 b_1+a_1 b_0)+(x-x_0)^2\times (a_0 b_2+a_1 b_1+a_2 b_0)+...+(x-x_0)^n\times(a_0 b_n+a_1 b_{n-1}+...+a_{n-1} b_1+b_0)+...$

Posted by: fonfon

salut , je t'explique pour f(x)=e^x*ln(x+1) pour g(x) c'est pareil sauf que tu poses tanx=x

Soit DL en 0 je le fait à l'ordre 4 mais tu peux generaliser à l'ordre n:

e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^4E(x) avec limE(x)=0 qd x->0

ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+xE(x) avec limE(x)=0 qd x->0

donc e^x.ln(x+1)=(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^4E(x))*(x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+xE(x))

tu developpes 1*x-x^2/2...etc dés que tu vois que le pdt de 2 facteurs depassent le degrès 4 tu ne les prends pas en compte(car on le fait à l'ordre 4 si c'etait ordre 5 il faudrait que le pdt ne depasse pas le degrès 5 ..)

donc
e^x.ln(x+1)=(x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^2-x^3/2+x^4/3+x^3/2-x^4/4+x^4/6+x^4E(x))

soit à l'ordre 4:(après simplification)
e^x.ln(x+1)=(x+x^2/2+x^3/3+x^4E(x))