Mathématiques - Développement limité

Développement limité
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Posted by: Florix

Bonjour,

Qqn peut-il m'expliquer comment faire le DL de ln ( (e^x - 1) / x ), vu qu'on ne connait que le DL de ln ( 1 + u) avec u une fonction. Parce que je pensais à le faire de la manière suivante :

ln ( (e^x - 1)/x ) = ln ( [(e^x - x - 1)/x] + 1 ) mais j'y arrive pas non plus !

Le but de la question est en fait de démontrer que la fonction f définie par

f (x) = ln ( (e^x-1)/x ) est de classe C0, C1 et C2

Merci d'avance pour vos réponses

Florix

Posted by: Quidam

Bonjour,

$\Large [\ln(1+x)]'=\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4+...$
D'où :
$\Large \ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}+...$
et,
$\Large \ln(1+u(x)) = u(x)-\frac{u(x)^2}{2}+\frac{u(x)^3}{3}-\frac{u(x)^4}{4}-\frac{u(x)^5}{5}+...$
développement valable quand u(x) tend vers 0... A toi de continuer

Posted by: Florix

Citation:

Posté par Quidam

$\Large [\ln(1+x)]'=\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4+...$

$\Large \ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}+...$

$\Large \ln(1+u(x)) = u(x)-\frac{u(x)^2}{2}+\frac{u(x)^3}{3}-\frac{u(x)^4}{4}-\frac{u(x)^5}{5}+...$

Je les connais bien ces formules là ! Mais j'arrive pas a les aplliquer justement parce qu'on se retrouve avec des ((e^x-1-x)^5/5!))..... mias comment on montre alors que c'est continu ???!!!!

Je connais mes formules !

Posted by: Pythales

Connais-tu $e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...$ ?
Si oui, tu trouves facilement que $\frac{e^x-1}{x}=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+...$
Ensuite tu appliques $ln(1+u)$

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par Florix

Je connais mes formules !

Ne te fâches pas ! Comment saurais-je ce que tu connais et ce que tu ne connais pas ? Je fais ce que je peux pour t'aider !

Posted by: Florix

Ah mais y'a juste un malentendu lol !

En fait j'aurais pas du mettre le point d'exclamation après "je connais mes formules !", desolé, car je n'étais pas du tout énervé, ni vexé, ni rien du tout !

Excusez moi pour cette formulation. Je voulais juste signaler que je connaissais ces formules et que malgré cela je n'arrivais pas à trouver la solution.

Encore pardon alors ! Et merci pour votre aide

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par Florix

Encore pardon alors ! Et merci pour votre aide

Pas de soucis.

Posted by: Florix

Citation:

Posté par Quidam

Bonjour,

$\Large [\ln(1+x)]'=\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4+...$
D'où :
$\Large \ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}+...$
et,
$\Large \ln(1+u(x)) = u(x)-\frac{u(x)^2}{2}+\frac{u(x)^3}{3}-\frac{u(x)^4}{4}-\frac{u(x)^5}{5}+...$
développement valable quand u(x) tend vers 0... A toi de continuer

Quidam connait tu le DL de la dérivée seconde de ln ( 1 + u(x) ) ? Parce qu'il me la faudrait mais je ne connais pas le DL de -1 / (x+1)^2 (la dérivée seconde de ln (1+x)

Merci

Posted by: Quidam

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Posté par Florix

Quidam connait tu le DL de la dérivée seconde de ln ( 1 + u(x) ) ? Parce qu'il me la faudrait mais je ne connais pas le DL de -1 / (x+1)^2 (la dérivée seconde de ln (1+x)

Merci

Posons $\Large \phi(x)=\frac{-1}{(x+1)^2}=-(x+1)^{-2}$

Alors
$\Large \phi'(x)=-(-2)\times ((x+1)^{-3})=2\times ((x+1)^{-3})$
$\Large \phi^{(2)}(x)=(-3)\times ((x+1)^{-4})=-(3!)\times ((x+1)^{-4})$
$\Large \phi^{(3)}(x)=-(-4)\times ((x+1)^{-5})=(4!)\times ((x+1)^{-5})$
...
$\Large \phi^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}((n+1)!)\times ((x+1)^{-n-2})$
Le DL de $\Large \phi(x)$ donné par :

$\Large \phi(x) = \phi(0)+\frac{\phi'(0)}{1!}x+\frac{\phi^{(2)}(0)}{ 2!}x^2+\frac{\phi^{(3)}(0)}{3!}x^3+...+\frac{\phi^ {(n)}(0)}{n!}x^n+...$

est donc :

$\Large \phi(x) = -1+\frac{2}{1!}x-\frac{6}{2!}x^2+\frac{24}{3!}x^3+...+(-1)^{n+1}\frac{(n+1)!}{n!}x^n+...$
$\Large \phi(x) = -1+2x-3x^2+4x^3+...+(-1)^{n+1}(n+1)x^n+...$

Mais on pouvait aussi, puisque $\Large \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3...$ , dériver directement cette expression et trouver :
$\Large \phi(x) = -1+2x-3x^2+4x^3+...+(-1)^{n+1}(n+1)x^n+...$

Posted by: Florix

Merci beaucoup !!!!!! J'avais réussi à le faire en fait entre temps mais nous sommes d'accord !!!!

C'est parfait merci beaucoup de m'avoir aider !