Mathématiques - Dévelopement asymptotique

Dévelopement asymptotique
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Posted by: sissou3409

Bonjour,

J'aimerai savoir comment on fait pour trouvé une asymptote grâce au developpement limité.
Par exemple si on a y= x² arctan (1/x+1)

J'ai regardé dans des livres on me dit de posé h=1/x et de multiplié mon y par 1/abs(h), mais je comprend pas bien le but de cette méthode ni d'ailleur si je les bien comprise ^^

Merci

Posted by: nuage

Salut,
je suppose que $y=x^2\,\arctan\left(\frac1{x+1}\right)$ car si $y=x^2\,\arctan\left(\frac1{x}+1\right)$ il n'y a pas d'asymptote.
On pose ensuite $h= \frac1{x+1}$ et on utilise le DL de arctan en zéro : $\arctan(h)=h +\frac{ h^3}{3}+o(h^4)$
En remplaçant $h$ par $\frac1{x+1}$ on a :
$y= \frac{x^2}{x+1}+ \frac{x^2}{3(x+1)^3}+x^2 o(\frac1{(x+1)^4} = x-1+O(\frac1{x})$

Posted by: sissou3409

Et donc l'asymptote et y=x-1.. Mais le devellopement limité de artan(h) n'est pas bon je crois.. ce ne serait pas plutot arctan(h)= $h-h^3/3+O(h^3)$ ?

Merci, et dsl pr l'oublie de parenthèse mais tu a pris la bonne fonction!

Posted by: nuage

Citation:

Posté par sissou3409

Mais le devellopement limité de artan(h) n'est pas bon je crois.. ce ne serait pas plutot arctan(h)= $h-h^3/3+O(h^3)$ ?

Non.
En principe, pour u voisin de zéro, $\arctan(u)=u+\frac{u^3}{3}+O(u^4)$ mais comme $\arctan$ est impaire on a un $o(u^4)$

Au passage dans $\arctan(h)= h-h^3/3+O(h^3)$ le terme en $h^3/3$ est inutile. Tu donnes un DL à l'ordre 2.

Posted by: sissou3409

Oki merci.

Donc maintenant si je cherche la même chose pour:
$y=x+ln(x)/x$

On pose x= h +1 et on utilise le DL de ln(1+h) en 0:
$ln(1+h)=h-\frac{h^2}{2}+o(h^2)$

Ensuite en remplaçant, h par x-1, on a:
$y=x+x-1-\frac{(x-1)^2}{2x}$
D'ou $y=\frac{3x^2-1}{2x}=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2x}=\frac{3}{2}x+o(\frac{1}{x})$

Et l'asymptote serait donc y=3x/2 ?

Posted by: nuage

on a $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x} =0$ et donc
$x+\frac{\ln x}{x}\simeq x$ au voisinage de plus l'infini.
Dans ce cas il n'est pas utile d'utiliser un DL.

Posted by: alavacommejetepousse

Citation:

Posté par nuage

la dérivée d arctan est f ' (x) =1/(1+x^2)

de dl
f'(x) = 1 -x^2 +0(x^3) donc par intégration le dl de f est

f (x) = 0 + x- x^3/3 +0(x^4)

Posted by: nuage

Citation: