Bonjour tout le monde,
j'ai un dm à rendre dans quelque temps mais tristement que je suis bloqué sur une question depuis quelques jours alors j'appelle à l'aide !!!
Voila ce qu'il faut démontrer:
Soit A€Mn,p(K), mq les assertions suivantes sont équivalentes :
-(i) A est de rang r
-(ii) Il existe un déterminant extrait de A d'ordre r qui est non nul et tout déterminant extrait de A d'ordre r+1 est nul
De (i) à (ii) j'ai prouvé qu'il existe un déterminant extrait de A d'ordre r qui est non nul mais je n'arrive pas à prouver que ceux d'ordre r+1 sont forcement nuls.
Remarque : J'ai deja montré (ds une autre question) que si les vecteurs "r-tronqué" V1tr,...,Vrtr de K^n sont lineairement indépendants alors V1,...,Vr le sont aussi .
Voila j'espere que vous pourrez m'aidez.
Merci d'avance.
A bientôt.
Posted by: totom
Salut,
pour repondre a ta question: par l'absurde si il ya un det d'ordre r+1 non nul, tu as l'existence d'une famille de r+1 vecteurs libres de imA, ce qui contredit le rang.
Pour la reciproque, on voit qu on a une famille libre maximale de cardinal r.
Posted by: beeeeeennnnnn
Ok merci Totom, en fait c'est assez simple une fois qu'on a comprit la réponse =).
Sinon pour ma remarque précédente, j'aurais besoin d'aide puisque ma démonstration est un peu tordu, je pense pas qu'elle soit tres rigoureuse :
J'ai dit:
Soit ai des scalaires alors
(1) a1V1tr, ... , arVrtr=0 --> ai = 0 pour tout i, 1<=i<=r
et j'essaie alors de prouver que
(2) a1V1, a2V2, ... , arVr = 0 --> ai = 0 pour tout i, 1<=i<=r.
Mais la j'ai un probleme, j'essaie de sortir (1) de (2) et apres ?...
Posted by: totom
Le premier systeme est de Cramer donc pas de probleme, pour le second, et vu que t'as un det extrait d'ordre r tu vois que "les ai nuls" pour les r premieres lignes (quitte à permuter les lignes) sont compatibles avec les n-r dernieres: on a bien une solution (unique) compatible avec tout le systeme:famille libre.
Posted by: beeeeeennnnnn
Qu'est-ce que tu entends par "sont compatibles"?
Posted by: totom
tes r premieres equations te donnent une solution:"ai =0 quelque soit i", qui satisfait bien les equations définies par les n-r dernieres lignes: cf méthode générale d'etude de systemes linéaires.En gros t'as une solution déterminée par un bout du systeme, qui en fait donne une solution du systeme entier qui ici est unique car tu as plus d'équations que d'inconnues.
Remarque : J'ai deja montré (ds une autre question) que si les vecteurs "r-tronqué" V1tr,...,Vrtr de K^n sont lineairement indépendants alors V1,...,Vr le sont aussi .
tu vois que "les ai nuls" pour les r premieres lignes (quitte à permuter les lignes) sont compatibles avec les n-r dernieres: on a bien une solution (unique) compatible avec tout le systeme:famille libre.