2) Des triplets

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Posted by: nekros

Salut

Montrer qu'il n'existe qu'un nombre fini de triplets 4$\rm x,4$\rm y,4$\rm z d'entiers naturels tels que : \blue \fbox{4$\rm \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{1000} }

Bonne réflexion...


Posted by: Imod

Une première idée ( sans aucunes vérifications ) on peut supposer sans changer la "finitude" du nombre de solutions que x\leq y \leq z .
Si x \leq 1000 alors \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} > \frac{1}{1000} impossible .
Si x > 3000 alors \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} < \frac{1}{1000} .
Donc x \in [1001;3000] . Définissons f sur [1001;3000] par f(x) = \frac{1}{1000}-\frac{1}{x}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z} alors f(1001)=\frac{1}{1001000} et f(3000)=\frac{1}{1500} . On peut écrire f(x)=\frac{1}{t} avec t \in [1500;1001000] ( pas nécessairement entier ) . Alors \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{t} .
Si y<t alors \frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{t}: impossible .
Si y>2t alors \frac{1}{y}+\frac{1}{z}<\frac{1}{t}: impossible .

Alors x , y et z sont dans des intervalles bornés et le nombre de solutions est fini .

Imod










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