Mathématiques - Dérivée

Dérivée
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Posted by: legeniedesalpages

Soit $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I\subset \mathbb{R}$ . Soit $a$ un point de $I$ .

(1) On suppose que $f(a)=0$ et que f est de classe $C^{k+1}$ ( $k\geq 0$ ).

Montrer qu'il existe une (unique) fonction continue $g:I\rightarrow \mathbb{R}$ telle que $f(x)=(x-a)g(x)$ pour tout $x\in I$ . Montrer que $g$ est de classe $C^k$ .

Voilà ce que j'ai fait:

Pour l'existence:

on peut prendre $g(x)=\frac{f(x)}{x-a}$ pour $x\neq a$ .

Comme $g(x)=\frac{f(x)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \rightarrow f'(a)$ quand $x\rightarrow a$ par valeurs différentes de $a$ ,

g définie par $\{ g(x)=\frac{f(x)}{x-a} \mbox{ pour } x\neq a;\\ g(a)=f'(a)\qquad$ convient.

Pour l'unicité:

si $x\neq a$ , on a $g(x)=\frac{f(x)}{x-a} = h(x)$ .

Par continuité de $g$ et $h$ au point $a$ , on a

$g(a)=\lim_{x\rightarrow a} g(x) = \lim_{x\rightarrow a} h(x) = h(a)$ ,

d'où l'unicité.

Après je ne vois pas comment montrer que $g$ est de classe $C^k$ .

Merci pour votre aide.

Posted by: barbu23

Salut "legeniedesalpages" :
J'ai pas lu entièrement ton message .. mais pour repondre à ta dernière question , je pense qu'il faut proceder par recurrence ... c'est comme ça qu'on fait generalement pour ce genre de question ... donc, voilà ... bon courage pour la suite !!

Posted by: SimonB

Sauf erreur de ma part, une formule de Taylor (reste intégral par exemple) fait très bien l'affaire, sans besoin de récurrence !

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par SimonB

Sauf erreur de ma part, une formule de Taylor (reste intégral par exemple) fait très bien l'affaire, sans besoin de récurrence !

ok, déjà j'ai un souci, je pense que la formule de Taulor avec reste intégral du prof est fausse. Il nous a donné ça:

Si $f$ est $n$ fois dérivable au point $a\in I$ , on définit une fonction polynômiale $T^n_af:I\rightarrow \mathbb{R}$ par:

$3$T^n_af(x):=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2!} f"(a)(x-a)^2+...+\frac{1}{n!} f^{(n)}(a)(x-a)^n$ .

Formule de Taylor avec reste intégral: On suppose que $a<b$ sont contenus dans $I$ , et que la fonction $f$ est $n$ fois dérivable qur $[a,b]$ et $n+1$ fois dérivable sur $]a,b[$ . ALors il existe un réel $c\in ]a,b[$ tel que:

$3$f(x) = T^n_af(x)+\frac{1}{n!}[\Bigint_0^1 (1-t)^n f^{(n+1)}(a+t(x-a))dt](x-a)^{n+1}$

Je pense qu'il devrait y avoir un $b$ quelque part dans la formule, mais je ne vois pas où.

[edit] non en fait c'est bon, j'ai compris, il n'y avait pas d'erreur.

Posted by: legeniedesalpages

Si b<a, la formule de Taylor avec reste intégral reste la même, non?

Posted by: ThSQ

Effectivement ça se fait fort bien avec le reste intégral (mais les théorèmes sur les intégrales dépendant d'un paramètre trivialisent le truc non ?).

De surcroit $g^{(n)}(a) = \frac{f^{(n+1)}(a)}{n+1}$

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par ThSQ

Effectivement ça se fait fort bien avec le reste intégral (mais les théorèmes sur les intégrales dépendant d'un paramètre trivialisent le truc non ?).

De surcroit $g^{(n)}(a) = \frac{f^{(n+1)}(a)}{n+1}$

ok donc on a $3$g(x)=f'(a)+\frac{1}{2!}f"(a)(x-a) + ... + \frac{1}{k!}f^{(k)}(a)(x-a)^{k-1} + \frac{1}{k!} [\bigint_0^1 (1-t)^k f^{(k+1)} (a+t(x-a))dt] (x-a)^k$ ,

donc je vois bien que $3$x\rightarrow f'(a)+\frac{1}{2!}f"(a)(x-a) + ... + \frac{1}{k!}f^{(k)}(a)(x-a)^{k-1}$ est de classe $C^k$ (même $C^{\infty}$ ),

par contre c'est pas clair que $3$x\rightarrow \frac{1}{k!} [\bigint_0^1 (1-t)^k f^{(k+1)} (a+t(x-a))dt] (x-a)^k$ est de classe $C^k$ .