Dérivée de fonction polynome 1ere S

[tony64150]

Bonjour à tous ! Je dois faire un exercice sur les dérivés mais je bloque à partir de la question 3 voici l'énoncé :
Soit la fonction polynome definie sur R par :

P(x)=(1/3)x^3 + (1/2)x²-2x+(7/6)
1.Déterminez la fonction dérivée de la fonction P. (déja fait)
2.Dresser le taleau des variations de P . (fait)
3.Montrer que le point A(-(1/2) ; (9/4) ) est centre de symétrie de la courbe C.(C la courbe representative de P)
4.Montrer que le polynome P se factorise par (x-1)².
5En déduire les abscisses des points d'intersections de C avec l'axe des abscisses.
6.Donner une équation de la tangente à C au point d'abscisse 0.

Pour le 3 j'ai pensé faire f(-x)=-f(x) mais je ne suis pas sur . Pouvez-vous m'aidez svp ? ;) merci

[Ericovitchi]

Pour le 3 j'ai pensé faire f(-x)=-f(x)

non. Ca aurait marché pour montrer que (0,0) est centre de symétrie mais là on te demande de montrer que c'est le point A(-(1/2) ; (9/4) ) le centre en question.

Alors que faire ? Se ramener à un repère (0,0) donc faire une translation d'axes de (0,0) à A
Pour cela il faut faire le changement de repère
x=-1/2 + X
y=9/4+Y
dans l'équation de la courbe et puis seulement vérifier si f(-X)=f(X)

[tony64150]

ok je te remercie je vais essayer cela tout de suite .J'attend vos pistes pour les autre et surtout le 4 .

[Ericovitchi]

Le plus simple est de poser arbitrairement
(1/3)x^3 + (1/2)x²-2x+(7/6) = (x-1)²(ax+b)
d'effectuer le produit et d'identifier chaque terme de même puissance de x
Ca fera un système d'équations en a et b et ça permettra de trouver a et b

il faut trouver 1/6 (x-1)²(2x+7)

[tony64150]

pour le changement de repere il ne faut pas des vecteurs ??

[Ben314]

Une autre méthode (mais je sais pas si c'est plus rapide...) consiste à utiliser le fait que factoriser x+1, c'est pas facile alors que factoriser y, c'est les doigts dans le nez...
Cela peut donner l'idée de poser y=x+1 c'est à dire x=y-1.

En pratique, on remplace x par y-1 dans la formule, puis on développe tout et il doit sauter aux yeux que l'on peut factoriser y². Evidement, on termine en (re)remplacant y par x+1 dans la formule finale.

[tony64150]

je ne voit pas comment appliquer ce que tu me dis sans vecteur help me !!

[Ericovitchi]

Tu sais, poser
x=-1/2 + X
y=9/4+Y
c'est faire des vecteurs. C'est écrire

[tony64150]

Mais a quoi sa nous mene de faire un changement de repere ? Pour faire quoi par la suite ?

[Ericovitchi]

En ramenant le centre du repère au point A, cela permettra de vérifier que A est centre de symétrie en faisant simplement f(-X)=-f(X)