Dérivée d une fonction exponentielle

[alex888]

bonjour a tous
je suis en tle S et j ai un dm a faire avec des exo sur la fonction exponentielle
malheureusement j ete absent avan les vacances pour un eoperation et malgre le fait que j ai recupéré le cours je n ai pa tout compris !!
le premier exercice ma posé peu de probleme :
on a une fonction auxiliaire g(x)=x+2-e^x
je bloque seulement sur la question determiner la limite de g en +infini
le prof indique quel on peu factoriser par x mai je n y arrive tjs pa !!

le deuxieme m en a pose bcp !!
voici l enonce :
"on recherche une fonction definie et derivable sur R verifiant f'(x) + 3f(x) =5 et f(0)=0
1° j ai reussi
2° verifier que la fonction g(x) = 5/3(1-e^-3x) est solution du probleme
et c est la que je bloque
j ai reussi a demontrer que g(0)=0 mais je n arrive pas a demontrer que g'(x)+3g(x)=5 car je n arrive pas a deriver g(x)

si vous pouviez m eclairer ca serai sympa !!
merci a vous
++

[fonfon]

salut,

g(x)=5/3-5/3exp(-3x)
g'(x)=0-(-3)*(5/3)exp(-3x)
=5exp(-3x)

car (exp(-ax))'=-aexp(-ax)

[alex888]

ok merci bcp !!
et pour la limite en +infini du premier exo t aurai une idée ??
merci bcp
++

[Anonyme]

g(x)=x+2-e^x=x(1+2/x-(e^x)/x)

[alex888]

oui cette factorisation est correcte : g(x)=x+2-e^x=x(1+2/x-(e^x)/x)
le probleme c est que la limite de x en + infini c est +infini
la limite de 1+2/x en + infini c est 1
et la limite de -(e^x)/x en + infini c est - infini
ce qui nous donne une fomre indeterminée que je n arrive pa a resoudre !!
a moin que je me soi trompé dan mon raisonnemen ??
merci de votre aide !!

[julian]

Bonjour,
Quelle forme indéterminée?
:++:

[fonfon]

re,
je pense qu'il vaut mieux mettre l'exp en facteur car exp "l'emporte" sur x

donc

x+2-exp(x)=exp(x)(x/exp+2/exp(x)-1)

or lim x/exp(x)=0 qd x->inf
lim 2/exp(x)=0 qd x->inf
lim exp(x)=inf qd x->inf

donc lim g(x)=-inf (car il y a le -1)

[alex888]

a mais oui suis je bête !!
merci a tous pour votre aide precieuse
a++