Dérivation

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Posted by: Non inscrit

Bonjour

Quelqu'un pourrait il me donner, si ça existe, une fonction dérivable de R dans R, dont la dérivée en 0 est strictement positive, mais qui ne soit croissante sur aucun voisinnage de 0. Si ça existe pas, auriez vous une idée de la démonstration?
Merci d'avance


Posted by: cesar

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Posté par Non inscrit
Bonjour

Quelqu'un pourrait il me donner, si ça existe, une fonction dérivable de R dans R, dont la dérivée en 0 est strictement positive, mais qui ne soit croissante sur aucun voisinnage de 0. Si ça existe pas, auriez vous une idée de la démonstration?
Merci d'avance

quelle taille le voisinage ??? une boule ouverte de rayon R = 100000000 ?
en tout cas :
cela signifie que f'(0)>0 et f'(x) <= 0 sur le reste de la boule, supposée "petite" en rayon. Cela signifie donc qu'il y a une discontinuité dans f ' en 0 et qu'elle n'est donc pas derivable en f '' en 0. si l'on avait accepté la condition f'(0)>=0 on aurait pu utiliser une cubique à derivée negative, avec un point d'inflexion en 0. mais ici, nous avons non pas une fonction en derivée seconde, mais une DISTRIBUTION : la derivée en 0 est une masse de Dirac avec f '(x) = f2(x) + delta(x)*(f '(0)-f2(0)) avec f'(0) >0
delta(x) = 0 si x different de 0 et delta(x)=1 si x=0.
avec f2(x) fonction derivée de f sur la boule ouverte privée de l'element 0, avec si f2 est continue et négative, une valeur de f2(0) finie quelconque negative.

on en deduit : f (x) = f1(x) + H(x)*(f '(0)-f2(0)) avec f1 primitive de f2 et H(x) fonction de Heaviside...

Moralité : si c'est une distribution, ce n'est pas une fonction...










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