Dérivabilité

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Posted by: François

Bonsoir,
Je fais en ce moment le cours sur les fonctions numériques, et plus précisemment sur la dérivabilité. Je ne parviens pas à faire l'exo suivant... pouvez-vous m'aider?
Merci d'avance.

On considère la fonction f: \mathb{R} \rightarrow \mathbb{R}
x \rightarrow x^2 sin(\frac{1}{x}) si x \neq 0
0 si x=0


1°) Montrer que f est dérivable sur \mathbb{R}.

2°) Vérifier que f' n'est pas continue en 0.


Posted by: Galt

Dans tous les cas de prolongement par continuité, on étudie la dérivabilité en revenant à la définition f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h, soit ici, pour a=0, \lim_{h\to 0}\frac {h^2\sin\(\frac 1 h\)}h=\lim_{h\to 0}h\sin \(\frac 1 h\), qui vaut 0 puisque \sin\(\frac 1 h\) est borné.
D'autre part, pour x non nul, f' se calcule bêtement f'(x)=2x\sin\(\frac 1 x\)+x^2\times \(\frac{-1}{x^2}\cos\(\frac 1 x\)\)=2x\sin\(\frac 1 x\)-\cos\(\frac 1 x\) qui n'a pas de limite en 0. f' n'est donc pas continue ...


Posted by: François

Merci de ton aide Galt, je vais reprendre tout cela depuis le début afin de bien comprendre. Bonne soirée!


Posted by: François

euh ... tu es sûr pour la simplification de ta dérivée? Je parle de x^2xsin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x}) .... ?


De plus, si jamais c bon, pourquoi n'admet-elle pas de limite en 0?


Posted by: Galt

J'avais fait une erreur de frappe, que j'ai corrigée.
La dérivée n'admet pas de limite en 0 à cause de \cos\(\frac 1 x\)


Posted by: François

Et ... pourquoi à cause justement de ce cos(\frac{1}{x})?


Posted by: krou

parce que cos(1/x) quand x tend vers 0 peut valoir n'importe quoi entre -1 et 1


Posted by: danskala

salut,

d'après Galt, f'(x)=2x\sin\(\frac 1 x\)-\cos\(\frac 1 x\)

d'où \cos\(\frac 1 x\)=2x\sin\(\frac 1 x\)-f'(x)

2x\sin\(\frac 1 x\) tend vers 0 quand x tend vers 0 car \|2x\sin\(\frac 1 x\)\|\le \|2x\|.

Ainsi, si f'(x) admet une limite quand x tend vers 0 alors 2x\sin\(\frac 1 x\)-f'(x) aussi et par conséquent \cos\(\frac 1 x\) aussi.

Or \cos\(\frac 1 x\) n'admet pas de limite quand x tend vers 0.

Conclusion : f' nadmet pas de limite quand x tend vers 0.





Maintenant, comment montrer que \cos\(\frac 1 x\) n'admet pas de limite en 0 ?

On se sert de la propriété suivante:
si f(x) tend vers une limite L quand x tend vers 0 alors pour toute suite (x_n) qui tend vers 0, on a la suite (f(x_n)) qui tend vers L.

Soit la suite x_n=\frac{1}{2n\pi}. Elle converge vers 0.
\cos\(\frac {1}{x_n}\)=\cos(2n\pi)=1.
Donc \cos\(\frac {1}{x_n}\) tend vers 1.

Soit la suite y_n=\frac{1}{(2n+1)\pi}. Elle converge vers 0.
\cos\(\frac {1}{y_n}\)=\cos((2n+1)\pi)=-1.
Donc \cos\(\frac {1}{y_n}\) tend vers -1.

Si \cos\(\frac 1 x\) admettait une limite L quand x tend vers 0, \cos\(\frac {1}{x_n}\) et \cos\(\frac {1}{y_n}\) devraient converger vers cette même limite L. Ce qui n'est pas le cas.

bye










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