dérivabilité

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Posted by: legeniedesalpages

Bonsoir, je ne vois pas comment démarrer cet exo:

Soit la fonction réelle f de la variable réelle définie par f(x) = |x|^a, a \in \mathbb{Q}, a>0.

Montrer que f est dérivable en 0 si et seulement si a>1.


Déjà, combien fait f(0) = |0|^a. Et comment définit-on la "puissance a" avec a rationnel positif?


Posted by: SimonB

x^a=exp(a*ln(x)) ; donc f(0)=1.


Posted by: legeniedesalpages

Salut SimonB,

mais alors je ne suis pas tout à fait d'accord, en utilisant ta définition, je dirai plutôt |0|^a = exp(a\ln(0)) = exp(-\infty) = 0 , donc f(0) = 0


Posted by: SimonB

Ah oui, désolé :) Tu as parfaitement raison...


Posted by: legeniedesalpages

ok , bon déjà avec ça, je vais essayer d'avancer, je reposte si j'ai des questions. Merci SimonB =)


Posted by: barbu23

$\ f(x) = |x|^{a} = \{ {x^{a} \hspace{15cm} x \geq 0 } \\ (-1)^{a}.x^{a} \hspace{15 cm} x \leq 0} $


Posted by: barbu23

Je pense qu'il faut vérifier la dérivabilité à gauche de $\ f $ et la derivabilité à droite de $\ f $ en $\ 0 $ et de voir ensuite dans quelles conditions ça équivaut au fait que $\ a>0 $.


Posted by: legeniedesalpages

Citation:
Posté par barbu23
$\ f(x) = |x|^{a} = \{ {x^{a} \hspace{15cm} x \geq 0 } \\ (-1)^{a}.x^{a} \hspace{15 cm} x \leq 0} $


salut Barbu23, il me semble que ce n'est pas tout à fait juste ce que tu dis. En effet (-1)^{a} n'est pas défini si a n'est pas entier.

Je pense qu'il vaut mieux dire:

$\ f(x) = |x|^{a} = \{ {x^{a} \hspace{15cm} x \geq 0 } \\ (-x)^{a} \hspace{15 cm} x \leq 0 $


Posted by: Sylar

Euh je pense que cette intervention est inutile

(-x)^a=[(-1)^a].x^a .......


Posted by: legeniedesalpages

Citation:
Posté par Sylar
Euh je pense que cette intervention est inutile

(-x)^a=[(-1)^a].x^a .......


Salut Sylar, quelle définition adoptes-tu alors pour x^a, x <0 et a rationnel?

La définition de SimonB n'est pas suffisante pour affirmer ce que tu dis.

Pour la dérivabilité, j'ai trouvé.

On a

\lim_{x\rightarrow 0, x<0} \frac{|x|^a}{x} = \{ -\infty \mbox{, si } a < 1 \\ -1 \mbox{, si } a=1 \\ 0 \mbox{, si } a>1 .

\lim_{x\rightarrow 0, x>0} \frac{|x|^a}{x} = \{ +\infty \mbox{, si } a < 1 \\ 1 \mbox{, si } a=1 \\ 0 \mbox{, si } a>1 .

Donc f est dérivable si et seulement si a>1.


Posted by: Sylar

Ah oui exact ,y a de quoi s'embrouiller


Posted by: bruce.ml

pour r = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} , la fonction x \mapsto x^r est définie sur les réèls positifs et l'image de x vaut \sqrt[q]{x^p}

on peut aussi définir la fonction x \mapsto x^a pour a réèl, en disant que c'est la limite d'une suite x^{r_n} avec les [r_i] rationnels et tendant vers a.


Posted by: legeniedesalpages

ok, donc toujours pas pour les réels négatifs.










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