Mathématiques - Dérivabilité quel utilité?

Dérivabilité quel utilité?
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Posted by: aze321

Bonjour,

Quel(s) avantage(s) a-t-on à avoir une courbe dérivable en tous points (en l'occurrence en 0)? Indirectement:
* Pourquoi on en vient à travailler sur la variance (moyenne des carrés dérivable des écarts à la moyenne) plutôt que de travailler sur l’écart moyen (moyenne des valeurs absolues non dérivable en 0 des écarts à la moyenne) qui sont pourtant plus représentatifs?
* Pourquoi la loi normale est définie avec un carré et pas une valeur absolue?

Merci,
JP

Posted by: nuage

Salut,
il est beaucoup plus facile de trouver le minimum d'une fonction dérivable que celui d'une fonction non dérivable.
Pour donner un exemple :

Quel est le minimum de $(x-1)^2+(x-3)^2$ (un calcul de dérivée suffit)
Quel est le minimum de $|x-1|+|x-3|$ (il faut faire une étude de cas)

Et je t'invite à réfléchir sur ce qui se passe si, au lieu de 2 valeurs, on en a 100.

Pour ce qui est de la loi normale, je vais faire appel à un argument d'autorité : c'est comme ça.

ceci pour deux raisons :

[1] J'ai la flemme d'écrire une démonstration.
[2] Tu ne la comprendrais sans doute pas.

Posted by: aze321

Je reformule pour voir si j'ai bien compris:

La différence entre travailler sur une courbe dérivable et sur une courbe NON dérivable porte sur la manière de trouver les bornes des intervalles de variations entre et
- Avec courbe dérivable : c'est rapide, il suffit de résoudre f'(x)=0
- Avec une courbe non dérivable: c'est lent, il faut déterminer manuellement les intervalles mais comment fait-t-on concrètement, par exemple avec f(x)=|x|?

Concernant la loi normale:

sachant que l'on n'a pas besoin de trouver ses bornes des intervalles de variation, pourquoi utiliser la fonction carrée plutôt que valeur absolue pour définir l'équation de la loi normale?
stp, donne moi la démonstration je ferais tout pour la comprendre et elle pourra servir à d'autres qui s'interroge comme moi

Posted by: aze321

quelqu'un d'autre peut m'aider,svp?

Posted by: nuage

Salut,
par définition la densité d'une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ est la fonction
$3$ f\text{ : }x\rightarrow f(x)=\frac1{\sigma \sqrt{2\pi}} \text{e}^{\frac{-1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$

Une raison de cette définition est le théorème central-limite :

Si $(X_n)$ est une suite de variables aléatoires indépendantes suivants toutes la même loi d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ alors la variable aléatoire "moyenne" $\bar X_n = \frac{X_1+\, \ldots\, +X_n}{n}$ converge en loi vers une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$