dérivabilité abstraite!

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: hello

bonjour
je voulais juste poser une question.
comment faire pour montrer que lim(f(b)-f(c))/(b-c)=f'(xo) quand b tend vers xo+ et c tend vers xo-; et f etant derivable en xo????

merci


Posted by: cesar

Citation:
Posté par hello
bonjour
je voulais juste poser une question.
comment faire pour montrer que lim(f(b)-f(c))/(b-c)=f'(xo) quand b tend vers xo+ et c tend vers xo-; et f etant derivable en xo????

merci


fait un developpement limité au 2eme ordre en xo de f(b) et de f(c), en posant b=x0+e1 et c=x0-e2, tu verras bien ce qu'il en sortira, mais cela suppose du f est developpable dans un voisinage de x0...


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par hello
bonjour
je voulais juste poser une question.
comment faire pour montrer que lim(f(b)-f(c))/(b-c)=f'(xo) quand b tend vers xo+ et c tend vers xo-; et f etant derivable en xo????

merci


Je propose le calcul suivant :

\Large g(b,c)=\frac{f(b)-f(c)}{b-c}=\frac{f(b)-f(x_0)+f(x_0)-f(c)}{b-c}
\Large g(b,c)=\frac{f(b)-f(x_0)}{b-c}+\frac{f(x_0)-f(c)}{b-c}
\Large g(b,c)=\frac{f(b)-f(x_0)}{b-x_0}\times \frac{b-x_0}{b-c}+\frac{f(x_0)-f(c)}{x_0-c}\times \frac{x_0-c}{b-c}

\Large \frac{f(b)-f(x_0)}{b-x_0} tend vers \Large f'(x_0) : \Large \frac{f(b)-f(x_0)}{b-x_0} = f'(x_0) + \varepsilon(b) avec \Large \varepsilon(b) \to 0 quand \Large b \to x_0
\Large \frac{f(c)-f(x_0)}{c-x_0} tend vers \Large f'(x_0) : \Large \frac{f(c)-f(x_0)}{c-x_0} = f'(x_0) + \mu(c) avec \Large \mu(b) \to 0 quand \Large c \to x_0

Donc :

\Large g(b,c)=(f'(x_0) + \varepsilon(b))\times \frac{b-x_0}{b-c}+(f'(x_0) + \mu(b))\times \frac{x_0-c}{b-c}
\Large g(b,c)=f'(x_0) + \varepsilon(b)\times \frac{b-x_0}{b-c}+\mu(b)\times \frac{x_0-c}{b-c}

Ici, on pourrait craindre une indétermination car \Large x_0-c,\Large x_0-b\Large b-c tendent tous trois vers 0, mais comme b tend vers \Large x_0+ et c tend vers \Large x_0-, les deux facteurs \Large \frac{b-x_0}{b-c} et \Large \frac{x_0-c}{b-c} sont bornés par 1.

g(b,c) tend donc vers \Large f'(x_0)

Cela ne suppose pas que f soit developpable dans un voisinage de x0...juste qu'elle est dérivable en x0.


Posted by: yos

Hello. Juste une remarque :
Dérivable en xo <=> admet un dl1(xo)










-