Exercice 1 : Sur une autoroute il circule 10% de camions et 90% de voitures. 1- Déterminer l’univers . 2 - On se place au bord de l’autoroute et on observe n véhicules. Quelle est la loi de la variable aléatoire donnant le nombre de camions observés ? On note la variable aléatoire correspondant à la proportion de camions observés. (Indication : peut s’écrire comme une somme de variables aléatoires indépendantes) 3- Calculer l’espérance et la variance . 4- Déterminer le nombre minimum de véhicules à observer pour que la proportion de camions soit située entre 8% et 12%, avec une probabilité supérieure à 96%. a- En utilisant le théorème central limite. b- En utilisant la loi faible des grands nombres. 5- Chaque jour 10000 véhicules circulent sur cette autoroute. Peut-on approcher la loi de de la question 2 par la loi de poisson ? Si oui déterminé son paramètre. Exercice 2: Pour contrôler la qualité d’un lot de pièces, on en prélève un échantillon de taille N = 5, et on constate que k’ = 3 pièces sont défectueuses. On suppose que la population K obéit à une loi binomiale B( N , p ) 1) Déterminer l’expression littérale de la fonction de vraisemblance L(k’;p), et tracer son allure en fonction de p. En quel point le maximum est-il atteint ? 2) Exprimer l’estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre p. Cet estimateur est-il biaisé Exercice 3: Pour déterminer l’âge moyen de ses clients, une grande entreprise de confection pour hommes prélève un échantillon aléatoire de 50 clients et trouve une moyenne de 36 ans et une variance s2 =144. 1- Déterminer un intervalle de confiance au risque de 5% de la moyenne d’âge. 2-Supposer que pour le même risque d’erreur, on veuille réduire la longueur de l’intervalle de façon précise, à 2ans. Quelle doit être alors la taille de l’échantillon ? 3- Déterminer un intervalle de confiance au risque 5% pour l’écart type. Exercice4 : Une variable aléatoire suit la loi normale N(0,s). Au vu d’un échantillon indépendant (x1, x2, …, xn) de la loi de X, on veut choisir entre les hypothèses H0 : s = 1 H1 : s = 2 1- On veut déterminer le test à effectuer par la méthode de Neyman et Pearson a- Déterminer les fonctions de vraisemblance L(x1, …, xn, 0) et L(x1, …, xn, 1). En déduire le rapport de vraisemblance , et c- Déterminer la région critique C = 2- Pour suivant la loi normale N(0, ) , on admet que suit la loi de c2 à n degrés de libertés. a- Pour n = 20 et le niveau a = 2.5% , déterminer la constante de la région critique b- Déterminer la puissance du test 1-b . La puissance du test est-elle maximale?
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