Mathématiques - Densité

Densité
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Posted by: Pythix

Bonjour,
j'ai un exercice qui me pose problème :
$\alpha \in$ R\Q Montrer que N + $\alpha$ Z est dense dans $\R$
je ne vois pas trop comment faire...
Merci d'avance

Posted by: Pythix

Peut on dire :
soit $H=[n+\alpha k /(n,k)\in N *Z]$ sous groupe de $\R$
et montrer que H ne peut etre de la forme aZ donc H est dense dans R... ?

Posted by: Yipee

Montrer que $H = Z + \alpha.Z$ est dense est très classique. On peut procéder comme tu le dis en disant que H est un sous groupe additif de R. Ensuite, on regarde le sup de $H \cap R_+$ et on montre que c'est 0. On en déduit que H est dense.

Il faut peut-être adapter un peu. Dans ta version, $H = N + \alpha.Z$ n'est plus un sous-groupe.

Posted by: Pythix

oui, la première partie de l'exercice est Z+alphaZ
pour la deuxième avec N je bloque...

Posted by: yos

Bonjour.
Adapte un peu la preuve de la caractérisation des sous-groupes de R.
Il te suffit de prouver que N+aZ renferme un élément arbitrairement proche de 0 (ça tu vois pourquoi?).
Pour ceci, tu peux regarder les réels a-E(a), 2a-E(2a),...na-E(na). Ils sont tous dans [0,1], tous distincts (pourquoi?), et donc avec le principe des tiroirs...
Si tu fais ta soustraction dans le bon sens, tu auras un élément de N+aZ.

Posted by: Pythix

en fait je cherchais à appliquer :
si G sous groupe additif de R
alors soit G est dense dans R
soit G=aZ avec a élément de R+

Posted by: Pythix

j'ai pas très bien compris pourquoi il fallait qu'il y ait un élément proche de 0, c'est une histoire d'adhérence non?

Posted by: yos

Comme te l'a dit Yipee, N+aZ est pas un sous-groupe de R.

Si tu as un élément trés petit x>0 dans N+aZ, alors les réels nx où $n\in \mathbb N$ sont aussi dans N+aZ et forment un maillage serré de R+. C'est bien ce qu'on veut.
(Pour R-, il suffit de trouver y<0 arbitrairement voisin de 0 et dans N+aZ par la même méthode).

Posted by: Pythix

donc on peut dire qu'il existe a, tel que à partir d'un certain rang N la suite
na-E(na) tend un élément de R, ce qui montrerait la densité??

Posted by: Pythix

et si on a prouvé que Z+alpha.Z est dense dans R comment se ramener à N+alpha.Z dense dans R ??

Posted by: Yipee

Citation:

Posté par yos

Pour ceci, tu peux regarder les réels a-E(a), 2a-E(2a),...na-E(na). Ils sont tous dans [0,1], tous distincts (pourquoi?), et donc avec le principe des tiroirs...

Je ne vois pas trop comment conclure avec le principe des tiroirs....

Posted by: yos

Pour Pythix : mon "a" est ton "alpha". Je croyais que ça se voyait.

Salut Yipee. Mon idée est la suivante : d'après le principe des tiroirs, il existe i et j tels que $|[ia-E(ia)]-[ja-E(ja)]|<\epsilon$ , ce qu'on peut écrire $|(i-j)a- k|<\epsilon$ , où k est un entier. Selon le signe de k, l'un des réels (i-j)a-k ou son opposé est dans N+aZ et est $\epsilon$ -proche de 0. Par contre, je n'ai pas le choix du côté de 0 : en tout cas j'ai la densité sur R+ ou sur R-. Il y a un défaut à corriger. J'y réfléchirai pour m'endormir.

Posted by: Pavel

On peut le faire d'une manière un peu plus bizarre

On prends Un = n et Vn = na - E(na)

L'ensemble {Up+Vq| (p,q) dans N*N} est dense dans R

(Ca se démontre par l'absurde)

Posted by: yos

Sinon j'ai une autre idée, plus simple, sachant qu'on a déjà prouvé que Z+aZ est dense dans R.

Je pose
G=Z+aZ
E=N+aZ.

Soit $\epsilon>0$ . On prend un élément g de G appartenant à $]0,\epsilon[ : g=x+ay$ . Supposons que $]0,g[\cap E=\emptyset$ . Alors les éléments de $]0,g[\cap G$ sont tous de la forme u+va avec u<0. Mais ils sont en nombre infini et seul un nombre fini d'entre eux peut vérifier u>x. Il en existe donc au moins un : g'=u+va tel que $x\geq u$ . L'élément g-g' est dans $]0,\epsilon[\cap E$ ce qui est une contradiction.

Posted by: Yipee

Citation:

Posté par yos

Sinon j'ai une autre idée, plus simple, sachant qu'on a déjà prouvé que Z+aZ est dense dans R.

Je pose
G=Z+aZ
E=N+aZ.

Soit $\epsilon>0$ . On prend deux éléments de G appartenant à $]0,\epsilon[ : x+ay et x'+ay'$ . On les soustrait dans le bon sens pour tomber dans E et on sera encore dans $\epsilon>0$ . Par Archimédisme, on a la densité de E dans R+.
On recommence pour R- .

Je pense que cette idée doit pouvoir fonctionner, mais il faut travailler plus. Rien ne permet ainsi d'affirmer que ta différence dans le sens qu'il faut pour être dans E ne soit pas toujours du même signe.

Posted by: Yipee

Bon j'ai trouvé. On suppose par l'absurde que l'on ne peut pas trouver des éléments de E = N + aZ aussi proche que l'on veut de $0^+$ . Par densité on construit une suite (u) strictement décroissante, tendant vers 0 d'éléments de G = Z+aZ. Par hypothèses, ce sont (à partir d'un certain rang) des éléments de F = Z_ + aZ. On pose $u_n = p_n + aq_n$ . Alors

$0<u_{n}-u_{n+1} = (p_n-p_{n+1}) + a(q_n - q_{n+1}) \in F$

On en déduit que (p_n) est une suite strictement croissante ce qui est absurde car elle est à valeur dans $Z_{-}$ .

On fait pareil de l'autre coté.

Posted by: yos

J'ai modifié mon truc. Je lis le tien.

Posted by: yos

Bon on est en phase. Y compris dans les notations.

Posted by: Yipee

Citation:

Posté par yos

Bon on est en phase. Y compris dans les notations.

OK. A part deux trois fautes de frappes $]0,g[\cap G \neq \emptyset$ et les inégalités sont dans le mauvais sens car on travaille avec des nombres négatifs.

Posted by: yos

Merci. j'ai corrigé.