Densité

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Posted by: ramanujo

Bonjour les matheux...
Je bute sur une question d'un probleme (qui ne depend d'aucune autre question...):

Montrer que l'ensemble des points à coordonnées rationnelles est dense dans le cercle unité.

J'avoue que cela ne me parait pas naturel mais bon....
Pouvez vous m'aider......


Posted by: Babe

analogie avec la densité de Q dans R ?
enfin je dis ca je dis rien, il commence a etre tard


Posted by: legeniedesalpages

Je sais pas, peut être une idée:

On considére l'application f définie sur \mathbb{R}^2 par

x=(x_1,x_2) \longrightarrow \frac{x}{||x||^2} = \frac{x}{\sum x_i^2}

C'est une homéomorphie de \mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\} sur lui-même.
Elle transforme la droite x_2=1 de \mathbb{R}^2 en S\setminus \{(0,0)\} où S est le cercle unité.

La droite x_2=1 est homéomorphe à \mathbb{R} par l'homéomorphisme g(x) = (x,1).

Donc f\circ g est une homémorphie de \mathbb{R} sur S\setminus \{(0,0)\}.

f\circ g(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}\times \mathbb{Q} et \overline{f\circ g(\mathbb{Q})} = S\setminus\{(0,0)\}.

Donc tout point de S\setminus\{(0,0)\} est limite d'une suite de points de (\mathbb{Q} \times \mathbb{Q})\cap S\setminus\{(0,0)\} .
D'autre part (0,0) est limite de la suite à coefficients rationnels de points de S : ((0,0),(0,0),\cdots).

Donc tout point de S est limite d'une suite de points de S à coefficients rationnels.

Sauf erreur.


Posted by: legeniedesalpages

Je pense qu'on pourrait généraliser la question:

Soit K un compact de \mathbb{R}^n.
L'ensemble des points à coordonnées rationnelles est-il dense dans K?


Posted by: yos

Citation:
Posté par legeniedesalpages
Je pense qu'on pourrait généraliser la question:

Soit K un compact de \mathbb{R}^n.
L'ensemble des points à coordonnées rationnelles est-il dense dans K?

Sûrement pas : la courbe x^4+y^4=1 (dans le plan) ne contient aucun point à coordonnées rationnelles (sauf les quatre triviaux).


Posted by: yos

Pour revenir à la question initiale, le paramétrage du cercle unité par (\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}) devrait prouver la chose (en donnant à t des valeurs rationnelles).










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