Dénombrement

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Posted by: aminovic

Bonsoir,
Je cherche à déterminer touts les nombres entiers naturels n>1 et m> 1 tel que
1 ! *3 !*5 !*….*(2n-1) !=m !
Quelqu’un peut-il m’aider ?


Posted by: aviateurpilot

1 ! *3 !*5 !*….*(2n-1) !4$ =2^{\frac{n(n-1)}{2}}\bigprod_{k=0}^{n-1}(2k+1)^{n-k}=m!
essaye mtn de chercher quelque conditions sur m.
par exemple la valuation 2-adique de m


Posted by: aviateurpilot

4$ \exist p\ premier\ tel\ que\ 4n>p>2n-1
donc si m<4n
sinon on aura p|1 ! *3 !*5 !*….*(2n-1)! ce qui est absure.
ton probleme est mtn plus facile.

tu veux que je continu ou bien je te laisse combainer les 2 resultats que j t'ai donné?


Posted by: Daniel-Jackson

Citation:
Posté par aviateurpilot
4$ \exist p\ premier\ tel\ que\ 4n>p>2n-1
donc si m<4n
sinon on aura p|1 ! *3 !*5 !*….*(2n-1)! ce qui est absure.
ton probleme est mtn plus facile.

tu veux que je continu ou bien je te laisse combainer les 2 resultats que j t'ai donné?


Comment savais tu qu'il fallait regarder un nombre premier compris entre 4n et 2n-1 strictement ?


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par Daniel-Jackson
Comment savais tu qu'il fallait regarder un nombre premier compris entre 4n et 2n-1 strictement ?


tu veux savoir comment j'ai pensé a ce nombre premier?
ou bien pourquoi ce nombre premier exist?


Posted by: Daniel-Jackson

Citation:
Posté par aviateurpilot
tu veux savoir comment j'ai pensé a ce nombre premier?
ou bien pourquoi ce nombre premier exist?


Oui oui j'aimerais savoir comment tu as pensé à ce nombre premier.
Pourquoi pas 2n-1<p<3n ? pourquoi 4n précisément ?


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par Daniel-Jackson
Oui oui j'aimerais savoir comment tu as pensé à ce nombre premier.
Pourquoi pas 2n-1<p<3n ? pourquoi 4n précisément ?


dans mon 1er posté j'ai essaye de donner une autre forme de 1!.3!....(2n-1)!
alors j'ai fait sortir une puissance de 2 multuiplier par un nombre impair.
donc cette puissance va presenté la valuation 2-adique de m!.ce qui m'a fait pensé a travailler avec un autre nombre premier p qui ne divise pas 1!.3!..(2n-1)! et proche de 2n-1
alors j'ai utlisé l'exisance d'un premier entre 2n et 4n.apres je pense que ma conclusion sur le fait que m<4n, c'est evidant.
un theoreme que je connais (j'ai oublié le nom) dit qu'il y toujours un premier entre k et 2k.


Posted by: Daniel-Jackson

Citation:
Posté par aviateurpilot
dans mon 1er posté j'ai essaye de donner une autre forme de 1!.3!....(2n-1)!
alors j'ai fait sortir une puissance de 2 multuiplier par un nombre impair.
donc cette puissance va presenté la valuation 2-adique de m!.ce qui m'a fait pensé a travailler avec un autre nombre premier p qui ne divise pas 1!.3!..(2n-1)! et proche de 2n-1
alors j'ai utlisé l'exisance d'un premier entre 2n et 4n.apres je pense que ma conclusion sur le fait que m<4n, c'est evidant.
un theoreme que je connais (j'ai oublié le nom) dit qu'il y toujours un premier entre k et 2k.


Bien bien . En tout cas bravo, moi je ne pense pas que je réussirais à faire l'exo seul en entier sans une indication.


Posted by: yos

Citation:
Posté par aviateurpilot
un theoreme que je connais (j'ai oublié le nom) dit qu'il y toujours un premier entre k et 2k.

Hum hum. Postulat de Bertrand prouvé par tchebychev : trop dur. Il serait bon de trouver autre chose pour cet exo.


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par yos
Hum hum. Postulat de Bertrand prouvé par tchebychev : trop dur. Il serait bon de trouver autre chose pour cet exo.


pourquoi?

3$ m&lt;4n
3$ \frac{n(n-1)}{2}=V_2(m!)&lt;V_2((4n)!)=\bigsum_{k=1}^{+\infty}E\(\frac{4n}{2^k }\)\le 4n
donc n(n-1)&lt;8n\ \Longleftrightarrow \ n\in \{2,3,4,5,6,7,8\}


Posted by: yos

Citation:
Posté par aviateurpilot
pourquoi?

Parce que tu utilises un résultat très difficile pour résoudre un exercice qui doit être assez simple (j'ai pas cherché mais si c'est un exo d'olympiade ou de prépa, c'est forcément "simple").
Ton idée est bonne et naturelle mais aminovic n'est pas censé connaître ce genre de théorème.


Posted by: yos

J'ai pas trop creusé mais bon j'ai pas d'idée à part comparer les valuations p-adique des deux membres ce qui est vite lourd.
Alors peut-être que l'idée de Aviateurpilote est pas si mal.


Posted by: aminovic

Citation:
Posté par yos
Parce que tu utilises un résultat très difficile pour résoudre un exercice qui doit être assez simple (j'ai pas cherché mais si c'est un exo d'olympiade ou de prépa, c'est forcément "simple").
Ton idée est bonne et naturelle mais aminovic n'est pas censé connaître ce genre de théorème.



C’est vrais yos j’étais en train de réviser le dénombrement et j’ai trouvé cet exercice ds un livre de (2eme bac) càd qu’il est proposer aux élèves qui n’ont jamais étudier l’arithmétique, alors il y a forcément une méthode plus simple.


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par aminovic
C’est vrais yos j’étais en train de réviser le dénombrement et j’ai trouvé cet exercice ds un livre de (2eme bac) càd qu’il est proposer aux élèves qui n’ont jamais étudier l’arithmétique, alors il y a forcément une méthode plus simple.

j'ai pas utiliser des connaissance arithmetique pour trouver:
4$ 1!.3!.5!...(2n-1)!=2^{\frac{n(n-1)}{2}}\bigprod_{k=0}^{n-1}(2k+1)^{n-k}
j'ai seulement utiliser le fait que n!=1x2x3...xn

peux etre qu'on va utilisé C_{n}^p=\frac{n!}{p!(n-p)!} non?


Posted by: aminovic

Citation:
Posté par aviateurpilot
j'ai pas utiliser des connaissance arithmetique pour trouver:
4$ 1!.3!.5!...(2n-1)!=2^{\frac{n(n-1)}{2}}\bigprod_{k=0}^{n-1}(2k+1)^{n-k}
j'ai seulement utiliser le fait que n!=1x2x3...xn

peux etre qu'on va utilisé C_{n}^p=\frac{n!}{p!(n-p)!} non?

Non j’ai parlé du théorème que vs avez utilisé (l’existence du nombre premier p tq 2n-1<p<4n)
C’est de l’arithmétique non ?


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par aminovic
Non j’ai parlé du théorème que vs avez utilisé (l’existence du nombre premier p tq 2n-1<p<4n)
C’est de l’arithmétique non ?

oui, mais j vai essayer de trouver une autre chose


Posted by: aminovic

Citation:
Posté par aviateurpilot
oui, mais j vai essayer de trouver une autre chose

ok merci bcp










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