Dénombrabilité

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Posted by: arnaud26

J'ai deux questions quant à la dénombrabilité, les voici
1) On sait que \mathbb{Q} est dénombrable et donc qu'on peut énumérer les nombres rationnels. Est-ce rigoureux d'écrire : soit a_k, la suite de tous les nombres rationnels ?

2) Si j'ai une suite d'ensemble I_{q,n}=\{ (q+\frac{1}{n},q-\frac{1}{n}) : q \in \mathbb{Q}, n\in \mathbb{N}\}, est-ce correct de les définir comme I_{q,n}=I_k si non comment les définir avec un seul indice naturel ?
Merci de votre aide


Posted by: legeniedesalpages

Citation:
Posté par arnaud26
J'ai deux questions quant à la dénombrabilité, les voici
1) On sait que \mathbb{Q} est dénombrable et donc qu'on peut énumérer les nombres rationnels. Est-ce rigoureux d'écrire : soit a_k, la suite de tous les nombres rationnels ?

2) Si j'ai une suite d'ensemble I_{q,n}=\{ (q+\frac{1}{n},q-\frac{1}{n}) : q \in \mathbb{Q}, n\in \mathbb{N}\}, est-ce correct de les définir comme I_{q,n}=I_k si non comment les définir avec un seul indice naturel ?
Merci de votre aide



Salut pour la 1), pour être encore plus rigoureux, il vaut mieux dire

soit a_k, une suite de tous les nombres rationnels.

On peut énumérer de pleins de façons les nombres rationnels.


Posted by: legeniedesalpages

Pour la 2), considèrer une bijection de \mathbb{Q}\times \mathbb{N} dans \mathbb{N} (on sait qu'il en existe).

C'est ce qui est sous-entendu dans ta définition, et je pense qu'elle est correcte pour cause de flemme de rentrer dans des détails techniques en général.


Posted by: arnaud26

d'accord merci, ne me manque plus que le numéro 2 alors.


Posted by: arnaud26

ok merci beaucoup ca répond parfaitement à mes questions


Posted by: Lierre Aeripz

Attention cependant au piège classique : on peut prendre une suite parcourant tous les rationnels, mais on ne peut pas la prendre croissante. On ne peut pas dire "quitte à renuméroter, prenons une suite croissante", même si on se limite aux rationnels positifs.


Posted by: legeniedesalpages

Bonjour Lierre Aeripz, je n'avais jamais pensé à ça.

Comment peut-on montrer qu'on ne peut attraper une telle suite?


Posted by: arnaud26

Une telle suite ne peut exister car on ne peut pas trouver deux rationnels consécutifs. Par la densité des rationnels dans les réels, entre supposons x_k et x_k+1, il va y avoir une infinité de rationnels.


Posted by: legeniedesalpages

ah oui effectivement.

merci arnaud :)


Posted by: leon1789

Citation:
Posté par arnaud26
Une telle suite ne peut exister car on ne peut pas trouver deux rationnels consécutifs. Par la densité des rationnels dans les réels, entre supposons x_k et x_k+1, il va y avoir une infinité de rationnels.

Je trouve que "densité de Q dans R" est un bien grand mot !
Disons simplement qu'entre deux rationnels x et y , il y a leur moyenne (x+y)/2. Cela suffit pour assurer l'impossibilité.










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