Démontrer qu'une suite est géométrique

par **Buggy94** » 10 Oct 2009, 16:58

Salut, j'ai un DM de math et je bloque à une démonstration, juste avant j'ai trouvé que :

La question est :
Soit

la suite définie par :

Démontrer que la suite est géométrique.

Donc comme je me souviens des cours de l'année dernière, j'applique la méthode qu'on m'a appris :

Et après avoir remplacé Pn+1 par son expression par rapport à Pn :

Donc ben je suis content mais je sais pas comment avancer pour trouver la raison ? (enfin, démontrer que (Vn) est géométrique mais elle le sera, évidemment) :hum:

par **annick** » 10 Oct 2009, 17:07

Bonjour,

Il faut que tu arranges les fractions sans Pn de ton numérateur, puis que tu fasses une petite factorisation et tout devrait s'arranger.

par **Buggy94** » 10 Oct 2009, 17:20

J'ai essayé et j'arrive à :

Je vois pas du tout la factorisation :hein:

par **annick** » 10 Oct 2009, 17:30

3/115-3/20Pn=(3/20)(20/115-Pn)=(3/20)(4/23-Pn)=-(3/20)(-4/23+Pn)

par **Black Jack** » 10 Oct 2009, 17:31

V(n) = p(n) - 4/23

V(n+1) = p(n+1) - 4/23

et tu remplaces p(n+1) par (1/5) - (3/20)p(n)

En manipulant un peu ce que tu auras trouvé, tu dois arriver à montrer que v(n+1) = - (3/20).(p(n) - 4/23)

Et conclure.
************

Essaie. :zen:

par **Buggy94** » 10 Oct 2009, 17:47

Ah...j'ai compris. J'utilisais pas la bonne méthode.
Donc la suite est géométrique de raison q = -3/20
Donc Vn = V1 * (-3/20)^n
C'est bien ça ?

Mais la factorisation vous l'avez trouvée en claquant des doigts ou il y a une méthode ?

par **Black Jack** » 10 Oct 2009, 19:03

Buggy94 a écrit:Ah...j'ai compris. J'utilisais pas la bonne méthode.
Donc la suite est géométrique de raison q = -3/20
Donc Vn = V1 * (-3/20)^n
C'est bien ça ?

Mais la factorisation vous l'avez trouvée en claquant des doigts ou il y a une méthode ?

Attention, Vn = V1 * (-3/20)^n n'est pas correct.

En effet, si par exemple on prend n = 1, on aurait :

V1 = V1 * (-3/20)^1
V1 = -(3/20).V1 ce qui est évidemment faux.

Essaie de corriger ...

:zen:

par **Buggy94** » 10 Oct 2009, 19:11

Mais V1 est le terme initial de la suite :cry:

par **annick** » 10 Oct 2009, 19:24

Non, je n'ai pas trouvé la factorisation en claquant des doigts !
En fait je voulais retrouver Pn sans coefficient devant puisque c'est ce que j'avais dans Vn. Alors j'ai mis en facteur 3/20, ce qui m'obligeait à diviser le terme sans Pn par 3/20. Et ensuite j'ai simplifié tout ça et j'ai vu que tout s'arrangeait bien puisque je retombait sur Vn. Mais c'est souvent le cas lorque que la question est :"démontrer que la suite est géométrique". Il faut essayer de retrouver le coefficient qui accompagne le terme contenant la suite.
En mathématique, l'intuition est aussi souvent le fruit d'une certaine pratique acquise en faisant pas mal d'exercices.
J'ai essayé de rendre mon explication claire et j'espère y être parvenue.

par **Buggy94** » 10 Oct 2009, 19:29

Oui j'ai fixé l'écran pendant 5 minutes et seulement après j'ai compris pourquoi tu voulais factoriser :lol:

par **annick** » 10 Oct 2009, 19:34

Si j'ai répondu un peu longuement à ta question c'est parce que j'ai trouvé très bien que tu te la poses.
Et cela m'intéressait aussi de t'expliquer que les élèves croient parfois à une certaine "magie" du raisonnement ce qui est à peu près toujours faux.
Continue à te poser les bonnes questions,tu es sur la bonne voie pour progresser.

par **Black Jack** » 11 Oct 2009, 18:06

Pense à corriger l'erreur qui reste et que j'ai mentionnée dans le message 7.

:zen:

Démontrer qu'une suite est géométrique

Démontrer qu'une suite est géométrique

Qui est en ligne