En prenant en définition du parallélogramme un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles, j'arrive à montrer avec la symétrie centrale qu'il admet un centre de symétrie qui est l'intersection de ses diagonales. Mais je n'arrive pas à montrer la "réciproque" : Si un quadriatère non croisé admet un centre de symétrie, alors c'est un parallélogramme.
Posted by: Alpha
Ben le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment parallèle et de même longueur... Ca revient à appliquer au segment une rotation de 180° de centre ce point.
Posted by: VieuxGrincheux
Merci alpha
Si je veux rester au niveau cinquième, par une symétrie centrale, le symétrique d'un segment est un segment parallèle. Nommons ABCD mon quadrilatère et E le centre de symétrie. On a le symétrique de [AB] est soit [AB],[BC],[CD] ou [DA].
1) ce ne peut pas être [AD] ou [BC] car sinon le quadrilatère est applati. en effet les deux droites parallèles ont un point commun et sont donc confondues. (au fait, à quel niveau est cette propriété ? je ne l'ai pas trouvé dans les programmes. )
2) Si le symétrique de[AB] est [AB]alors on a aussi que le symétrique de [CD] est [CD]
- soit le symétrique de A est A et celui de B est B, or il n'y a que le centre de la symétrie qui est invariant donc c'est impossible.
- soit le symétrique de A est B et celui de B est A et donc E est le milieu de [AB].
De la même manière le symétrique de C est D et celui de D est C et donc E est le milieu de [CD].
donc les deux côtés [AB] et [CD] ont le même milieu et donc ABCD est croisé. C'est impossible.
3) Le symétrique de [AB] est donc [CD].
De la même manière le symétrique de [BC] est [AD]. et les côtés opposés sont parallèles. cqfd.
mais cette démonstration est très dure pour un cinquième. Quelqu'un aurai-t-il plus facile ?
Posted by: Alpha
Ben on sait que le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment parallèle, ensuite avec le théorème de Thalès il est immédiat qu'ils ont même longueur.
Posted by: yvelines78
bonjour,
thalès c'est du niveau de la 4ème, sans thalès, la symètrie centrale conserve les longueurs.
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