bonjour; je cherche les démostrations des théorèmes suivants pour mieux les comprendre;pouvez-vous me les fournir svp:
1er théorème: soit s={v1,v2,..,vp} un ensemble orthogonal de vecteurs non uls appartenant à un sous-espace W de dimension p. Montrez que s est une base de W.
2ème théorème : soient x et y deux vecteurs de Rn . Montrez l'inégalité suivante: xTy <= ||x||.||y||
Merci.
Posted by: fahr451
bonsoir
1) montrer que s est libre comme elle comporte p vecteurs ce sera une base de W
a1v1 +...+apvp = 0 implique en prenant le produit scalaire avec a1
a1ll v1ll^2 +0+...+0 = 0 ( v1 orthogonal aux autres) et comme v1 non nul a1 = 0
idem pour les autres ou le faire directement avec vi i quelconque
2 inégalité de cauchy schwarz
1 cas x = 0 clair , 2 ieme cas x non nul
posez pour t réel f(t) = ll tx+ yll^2 toujours positif développer
on obtient un trinôme en t , toujours positif donc le delta est négatif
calcule ce delta il donne exactement l'inégalité
Posted by: sylvie
bonjour; merci de m'avoir répondu mais est ce que tu peux me developper les démonstrations car j'ai oublié un petit peu ces notions cause je suis en 3 année informatique et nos professeurs ne s'attardent pas sur ces notions là.
mais moi je veux me rappeler de ces théorèmes car ça m'aide dans mes recherche.
merci.
Posted by: fahr451
pour le 1 ? qu'est ce qui bloque ?j'ai fait la preuve complète
Posted by: sylvie
vous m'avez dit idem pour les autres; comment? et le 2ème je ne vois pas bien comment trouver l'inégalité?
Posted by: fahr451
a1 est nul
on refait le produit scalaire avec v2 on trouve a2 = 0 etc
pour le 2) écris toi même le trinôme et dis ce que tu trouves
Posted by: sylvie
ok; je te remercie de m'avoir répondu; je vais le calculé et te donné résulat que j'obtiendrai pour que tu me le corrige.
Posted by: Joker62
Je la trouve super jolie la démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz :)
Tu peux toujours la trouver sur wiki, y'a tout là bas ;)
bonjour, mais mois dans le théorème que je vous ai donné c'est: X transposé Y attention ce n'ai pas la même chose, non? .
Posted by: fahr451
x= (x1,...,xn)
y = (y1,....,yn)
considérés comme matrices lignes
xty = (x1y1+...+xnyn) est une matrice une ligne ,une colonne assimilée à un réel
c'est exactement le produit scalaire naturel dans R^n des vecteurs x et y
Posted by: sylvie
bonjour; pour le 2ème théorème est ce que vous pouvez me l'écrire en détail svp ;pour le premier est ce que j'ai juste :
S ={v1,v2,..vp}
a1v1+a2v2+....+apvp =0 (*)
je multiplie (*) par les vecteur v1 et j'obtiens : a1||v1||^2 + 0+...+0 = 0
et comme v1 non nul et v1 orthogonale aux autres donc a1=0. remarque: pourquoi en multipliant par v1, les autres termes sont égaux à 0.
même chose : 0+ a2||v2||^2+...+0=0
et comme v2 non nul et v2 orthogonale aux autres donc a2=0.
jusqu'à: ap||vp||^p =0 .
et comme vp non nul et vp orthogonale aux autres donc ap=0.
donc: S est est une base de w
est ce que j'ai bien écris la démonstration.
merci de votre aide.
Posted by: fahr451
n'est-ce pas ce que j'avais écrit ?
on ne multiplie pas par v1 on prend le produit scalaire avec v1
on a v1 . V2 = 0 (sont orthogonaux) etc
Posted by: sylvie
A d'acord j'ai compris et pour l'autre théorème, s'il vous plait veuillez me l'écrire .
merci a vous.
Posted by: fahr451
ll tx+yll2 = t^2 ll xll^2 + 2t (x.y) +llyll^2
c'est un trinôme en t toujours positif donc son delta est négatif
delta = 4 (x.y)^2 -4 llxll^2llyll^2 =<0 et voila
Posted by: sylvie
t c'est quoi ? est ce que c'est la transposé? vous avez dit voilà!!! est ce que la démonstration est finie; donc j'écris que xTy <= ||x|| ||y||.
Posted by: fahr451
ah non non t est un réel ici
aie aie aie
écris le non pas avec t mais lambda si tu préfères
Posted by: sylvie
merci pour ton aide car elle m'a été bien précieuse.
