Démonstration par récurrence, TS

[Horace]

Bonsoir, je suis élève en Termianle S et j'ai un exo sur les démonstrations par récurrence à faire. Mais voilà, je bloque sur la dernière étape de la démonstration: prouver que la propriété est héréditaire.

Voilà déjà ce que j'ai fait:

1)Développer et réduire (a+b)³, où a et b sont deux rééls.
Je trouve (a+b)³ = a²(a+3b) + b²(3a+b)

2)On appelle Pn la propriété: "3n³ >= (supérieur ou égal à) (n+1)³". Démontrer par récurrence que la propriété Pn est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 3.

Je fais mon résonnement par récurrence... Soit p un entier naturel fixé, on suppose que 3p³ >= (p+1)³.
On doit démontrer que la propriété Pn est héréditaire.
on doit démontrer que 3(p+1)³ >= (p+2)³
A l'aide de la question 1), je développe 3(p+1)³.
3(p+1)³ = 3p³+9p²+9p+3
A l'aide de la question 1), je développe (p+2)³.
(p+2)³ = p³+6p²+12p+8

C'est là que je bloque. J'ai pensé à décomposer les expressions en disant que:
Soit p un entier naturel fixé, on peut dire que:
3p³ >= p³
9p² >= 6p² pour l'instant ça fonctionne mais...
9p <= 12p
3 < 8
Ca se voit bien que la propriété est héréditaire mais il doit y avoir plus rigoureux pour le prouver... Est-ce que je m'y prends mal?

Merci de vos réponses.

[Kah]

Bonsoir 1)----> développer et réduire, pas re-factoriser!
2)------>tu oublies l'initialisation!

[Horace]

1) J'en suis alors à (a+b)³ = a³+b³+3a²b+3ab²
2) Je n'ai pas oublié l'initialisation. J'en suis juste venu directement au problème ici sur le forum. Mais merci de l'avoir rappelé.

J'arrive toujours au même problème pour prouver que la propriété Pn est héréditaire... :mur: . Je n'arrive pas à comparer correctement les deux expressions.

[Kah]

1) J'en suis alors à (a+b)³ = a³+b³+3a²b+3ab²
2) Je n'ai pas oublié l'initialisation. J'en suis juste venu directement au problème ici sur le forum. Mais merci de l'avoir rappelé.

J'arrive toujours au même problème pour prouver que la propriété Pn est héréditaire... :mur: . Je n'arrive pas à comparer correctement les deux expressions.

Ton développement est bon.
Pour comparer les deux expressions, fais la différence puis une étude de signe (sans oublier que n est supérieur a 3!), sa passe tout seul :id:

[Horace]

Merci pour ton aide.

3(p+1)³ = 3p³+9p²+9p+3
(p+2)³ = p³+6p²+12p+8

Etudions le signe de la différence.
3p³+9p²+9p+3-p³-6p²-12p-8 = 2p³+3p²-3p-5 = p(2p²+3p-3)-5

Pour 2p²+3p-3, delta est positif. J'ai donc deux racines (environ x1=-2,1 et x2=0.6). Delta est positif alors 2p²+3p-3 est du signe de a à l'estérieur de ses racines. Je peux commencer mon tableau de variation.
La troisième racine est 0. Je rajoute la ligne "p" à mon tableau de signe.
Enfin je rajoute la ligne "05" à mon tableau de signe.

Et là je trouve que pour p>= 3, j'ai le signe de la différence qui est négatif.
Ca me mène à la conclusion inverse de celle que je devrais trouver...