Bonjour,
Il y a une semaine, je me suis mis à une notion nouvelle, la démonstration par récurrence, et je commence à être familiarisé avec ce principe. Pourriez-vous svp me donner quelques démonstrations pas trop dures du style :
Prouver par récurrence que, pour tout n qui appartient à N*,
1² + 2² +3² +.....+ n² = n(n+1)(2n+1)/6
Merci
Démonstration par récurrence
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par Nightmare » 10 Aoû 2006, 23:27
Bonsoir
Pour n=1 on a bien :
n(n+1)(2n+1)/6=1*2*3/6=1
Ensuite :
^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^{2}}{6})
Il faut à présent montrer que n(n+1)(2n+1)+6(n+1)²=(n+1)(n+2)(2n+3)
En développant des deux côté, l'égalité est bien respecté.
On a ainsi montré que si la propriété était vraie au rang n, alors elle l'était au rang n+1. On a bien hérédité.
Par réccurence la propriété est vraie
:happy3:
Pour n=1 on a bien :
n(n+1)(2n+1)/6=1*2*3/6=1
Ensuite :
Il faut à présent montrer que n(n+1)(2n+1)+6(n+1)²=(n+1)(n+2)(2n+3)
En développant des deux côté, l'égalité est bien respecté.
On a ainsi montré que si la propriété était vraie au rang n, alors elle l'était au rang n+1. On a bien hérédité.
Par réccurence la propriété est vraie
:happy3:
par haydenstrauss » 11 Aoû 2006, 00:28
la démonstration par récurrence se fait en troius partis:
initialisation :
On montre que la proposition est vraim a premier rang, le premier rang est souvent 0 ou 1 mais ça peut etre k par exemple si dans l'énnoncé on te dit que
Hérédité:
Supposons que la propriété est vrand a un rang n fixé:
la tu ecris la propriété et du démontres que c'est vrai au rang suivant
conlusion :
La propriété est vraie au rang initial et il y a hérédité par conséquent la propriété est vrai quelque soit n
initialisation :
On montre que la proposition est vraim a premier rang, le premier rang est souvent 0 ou 1 mais ça peut etre k par exemple si dans l'énnoncé on te dit que
Hérédité:
Supposons que la propriété est vrand a un rang n fixé:
la tu ecris la propriété et du démontres que c'est vrai au rang suivant
conlusion :
La propriété est vraie au rang initial et il y a hérédité par conséquent la propriété est vrai quelque soit n
par fonfon » 11 Aoû 2006, 09:11
Salut, si j'ai bien compris tu veux des exemples de démonstration par récurrence
voici un exemple:
Soit à démontrer que pour tout
: 
A+
voici un exemple:
Soit à démontrer que pour tout
A+
par ayanis » 22 Aoû 2006, 10:31
Bonjour,
tu peux aussi t'amuser avec
^2}{4})
La faute que j'ai souvent vu faite sur la récurrence c'est de dire :
On verifie qu'à n=1 ca marche (ça, ça va)
Puis on suppose vrai à n (ça aussi),
Donc c'est vrai à n+1 (ça il faut le montrer en partant de n! certains oublient...)
Donc c'est vrai pour tout n.
La rédaction à avoir n'est pas la mienne (les profs n'aiment pas les "ça marche"), c'est le raisonnement que je tenais à donner ici...
Voili, voilou
ttyl
tu peux aussi t'amuser avec
La faute que j'ai souvent vu faite sur la récurrence c'est de dire :
On verifie qu'à n=1 ca marche (ça, ça va)
Puis on suppose vrai à n (ça aussi),
Donc c'est vrai à n+1 (ça il faut le montrer en partant de n! certains oublient...)
Donc c'est vrai pour tout n.
La rédaction à avoir n'est pas la mienne (les profs n'aiment pas les "ça marche"), c'est le raisonnement que je tenais à donner ici...
Voili, voilou
ttyl
par aviateurpilot » 22 Aoû 2006, 13:35
je laisse axiome la resoudre par reccurence
________________
^3+k^3=(n+1)\bigsum_{k=1}^n(n+1)^2+3k^2-3k(n+1)=n(n+1)^3+\frac{n(n+1)^2(2n+1)}{2}-\frac{3n(n+1)^3}{2}=\frac{n^2(n+1)^2}{2})
donc^2}{4})
et il y a la methode de-P(k)=k^3)
________________
donc
et il y a la methode de
par haydenstrauss » 22 Aoû 2006, 13:43
aviateurpilot a écrit:je laisse axiome la resoudre par reccurence
________________
donc
et il y a la methode de
J'avoue j'ai rien compris . Je ne coprend pas comment tu passes d'une egalité a l'autre. par exemple
aussi je connais rien a operation avec des
par ayanis » 22 Aoû 2006, 14:08
C'est ça, merci, je comprends pourquoi latex marche pas... désolée pour la gène occasionée.
en fait c'est bon, j'avais oublié le slash...
ttyl
en fait c'est bon, j'avais oublié le slash...
ttyl
par fonfon » 22 Aoû 2006, 14:20
Salut aviateurpilote, le resultat est bon mais il faudrait le demontrer car je pense que axiome aurait voulu avoir les étapes intermédiaires.Donc je reprend
notons Pn la propriété:
(n ds N)
a. la propriété est vraie pour n=4, plus petite valeur de l'indice:
(=16)
b. supposons Pn vraie pour un n fixé: alors, par hypothèse.
Multiplions les 2 menbres par 2:
soit 
.
Montrons maintenant que, pour :^2)
ou 
.
En effet, le 1er membre est un trinôme de variable n dont les racines sont
et 
.
Pour , exterieur à l'intervalle des racines, le trinôme est du signe de a=1, soit strictement positif.
On a donc^2}<2n^2\le{2^{n+1}})
d'où }^2\le{2^{n+1}})
ce qui démontre que Pn+1 est vraie.
c.le principe du raisonnement par récurrence s'applique, et on peut conclure:
pour tout n entier,
A+
notons Pn la propriété:
a. la propriété est vraie pour n=4, plus petite valeur de l'indice:
b. supposons Pn vraie pour un n fixé: alors, par hypothèse
Multiplions les 2 menbres par 2:
Montrons maintenant que, pour
En effet, le 1er membre est un trinôme de variable n dont les racines sont
Pour
On a donc
c.le principe du raisonnement par récurrence s'applique, et on peut conclure:
pour tout n entier,
A+
par haydenstrauss » 22 Aoû 2006, 14:28
ok merci je maitrise pas du tout les 
j'ai quasiment jamais utilisé.
merci
merci
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