demonstration entiers naturels

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Posted by: milloo

bonjour
je dois prouver que quelque soit "n" appatenant à N, il existe "a" appartenant à N tel que: (√(2)+1)^n = √(a+1) +√(a)
j'ai essayé de faire un raisonnement par récurrence sur "n" mais je tourne en rond...!
si vous pouviez m'aider... je vous en remercie d'avance!


Posted by: emdro

C'est amusant!

Je commenerais à prouver qu'on peut trouver An et Bn entiers tels que (1+V2)^n=An+BnV2.
Ensuite, tu auras une formule de récurrence entre les An, Bn et An+1,Bn+1.
Et tu pourras démontrer -sans doute par récurrence- que An+BnV2=V(An²)+V(2B²n) est de la forme souhaitée.


Posted by: fahr451

bonsoir

montre déjà
(1+rac(2)^n = c(n) +d(n) rac(2) avec c(n) ,d(n) dansN et trouve une relation de récurrence


Posted by: Flodelarab

Citation:
(√(2)+1)^n = √(a+1) +√(a)

(\sqrt{2}+1)^n = \sqrt{a+1}+\sqrt{a}
donc ln((\sqrt{2}+1)^n) = ln(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})
donc nln(\sqrt{2}+1) = ln(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})
donc n = \frac{ln(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})}{ln(\sqrt{2}+1)}

Pour chaque n, il existe bien un a qui marche.

N'est il pas ?










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