Demande d'aide !

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: barbu23

Bonsoir:
J'ai du mal à comprendre certaines notions en statistiques ...
Voiçi le texte que j'ai pas compris ...
Modélisation de l'échantillonage aléatoire simple.
Ce type d'échantillonage consiste à extraire un échantillon de taille $\ n $ dans une population de taille $\ N $ par des tirages aléatoires équiprobables et indépendants ( tirages avec remise ). On introduit le modèle suivant:
Soit : $\ \Omega = \{ \omega_{1} , ... , \omega_{N} \} $ la population constituée d'éléments appelés unités d'observation.
Soit $\ X $ le caractère que l'on voudrait étudier sur l'ensemble de cette population.
$\ X_{k} $ , le résultat aléatoire du $\ k $ - ième tirage, est une variable aléatoire qui suit la même loi que $\ X $ . On note : $\ x_{k} $ le résultat du $\ k $ - ième tirage.
On note: $\ (X_{1},...,X_{n}) $ les résultats aléatoires de ces tirages.
Définition:
$\ (X_{1},...,X_{n}) $ sont $\ n $ variables aléatoires indépendantes et de même loi ( celle de $\ X $ ), il est appelé echantillon de taille $\ n $ de $\ X $ .
Après tirage au sort, $\ (X_{1},...,X_{n}) $ prend les valeurs $\ (x_{1},...,x_{n}) $.
Question :
Les passages que j'ai pas compris sont en rouge dans le texte ... aidez moi et merçi d'avance.. !
j'arrive pas à distinguer la difference entre : résultat du $\ k $ - ième tirage $\ x_{k} $ et le résultat aléatoire du $\ k $ - ième tirage $\ X_{k} $
Est ce que vous pouvez me donner un exemple concret pratique illustrant toutes ces notions cités dans le texte.
merçi infiniment !!!


Posted by: barbu23

D'accord, pour le caractère ça va .. !!
un caractère c'est par exemple le poids, la taille ... etc. c'est une variable aléatoire $\ X $ sur l'ensemble de la population.
Par exemple : On prend au hasard un ananas dans la récolte d'un champ, et on considère la variable aléatoire $\ X $ : poids de lananas :
l'ensemble de tous les résultats possibles ( l'univers $\ \Omega $ ) : tous les ananas du champ, et
$\ X $ : $\ \Omega \longrightarrow IR $ telle que : $\ i $ : ananas $\ \Longrightarrow X(i) \in IR $ .


Posted by: nuage

Salut.
Dans ton problème X_k est une variable aléatoire : on n'a pas encore tirer le k-ième annana. Par contre x_k est le résultat du k-ième tirage, c'est une valeur qui n'a plus rien d'aléatoire.
Pour donner un autre exemple :
je vais lancer un dé : j'ai une variable aléatoire X , je peut calculer son espérance, P(X\leq 4) etc...
Je viens de lancer le dé : il indique 2 et ce résultat n'a plus rien d'aléatoire.


Posted by: barbu23

Bonsoir:
D'abord , "nuage" , merçi de ta reponse !!
j'ai une autre question à vous poser, la voiçi :
Est ce les deux écritures suivantes ont le même sens ...?!
1) $\ \frac{S_{n} - n.\mu}{\sigma.\sqrt{n}} $ ~ $\ N(0,1) $ ( $\ \frac{S_{n} - n.\mu}{\sigma.\sqrt{n} $ suit la loi normale centrée réduite $\ N(0,1) $ )
2) $\ \frac{S_{n} - n.\mu}{\sigma.\sqrt{n}} \longrightarrow N(0,1) $ quand $\ n \longrightarrow \infty $
et merçi d'avance !!!.


Posted by: nuage

Salut barbu,
non ces deux écritures n'ont pas le même sens :
La première dit que la loi suivit par Xn est la loi normale centré réduite, la deuxième que la loi de Xn se rapproche de la loi normale centré réduite. C'est le théorème central-limite (je suppose).


Posted by: barbu23

Merçi beaucoup nuage !


Posted by: barbu23

Bonsoir:
Soit $\ X $ une variable aléatoire telle que : $\ \mu = E(X) $ et $\ \sigma^{2} = V(X) $.
Soit $\ (X_{1},...,X_{n}) $ un $\ n $ - échantillon de $\ X $.
$\ \bar{X} = \frac{X_{1}+...+X_{n}}{n} $ : moyenne empirique.
$\ S^{2} = \frac{1}{n}.\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2} = \frac{1}{n}.\sum_{i=1}^{n}(X_{i}^{2}) - \bar{X}^{2} $ : variance empirique.
Pourriez vous me dire comme on aboutit au fait que:
$\ \frac{n}{\sigma^{2}}.S^{2} $ ~ $\ \chi_{n-1}^{2} $ ( khi-deux )
et merçi d'avance !


Posted by: nuage

On obtient un \chi^2_{n-1} par les v.a. X_k-\overline{X} ne sont pas indépendantes :
\displaystyle \sum_{k=1}^n (X_k-\overline{X})=0
On a donc seulement n-1 v.a. indépendantes.
Pour un démonstration plus précise regarde un cours de stats mathématiques.

A+


Posted by: barbu23

merçi "nuage":
j'ai pas de cours de statistiques pour l'instant .. j'ai perdu le mien il y'a 2 ans quant je faisais la statistique à la fac ... j'ai presque tous oublié de ce cours !!!


Posted by: barbu23

Pourriez vous me dire pourquoi : $\ E(E(X)) = E(X) $ .. avec: $\ E(X) $ : l'esperance de la variable aléatoire : $\ X $.
et merçi infiniment !


Posted by: B_J

Citation:
Posté par barbu23
Pourriez vous me dire pourquoi : $\ E(E(X)) = E(X) $ .. avec: $\ E(X) $ : l'esperance de la variable aléatoire : $\ X $.
et merçi infiniment !

Salut;
E(X) est une constante et E(cte)=cte










-