Degré d'une équation?

par **Lostounet** » 30 Oct 2009, 23:45

Bonsoir! Vous allez bien?
Encore moi :P

Voilà.. On a enfin commencé les équations "produit nul", mais il y a un problème :(..
Quand on nous demande de déterminer le degré d'une équation on doit apparemment "regarder le plus grand exposant de x".

Mais quand on a par exemple:

x² = 9
Est-ce une "équation du second degré"?

Si oui, alors
x ^8 = 256 est du huitième degré!?.. mais pourtant, on peut facilement trouver ses solutions.

Faut-il ajouter quelque chose à cette définition du "degré d'une équation" ?
Ne s'agit-il pas de polynômes?

par **eratos** » 31 Oct 2009, 00:01

Slt.
Alors, tu as raison :zen:
Le degré d'une fonction polynôme est le degré de sa fonction monôme du plus haut degré.
Après, tu confonds peut-être degré et "nômes". j'ai du mal à expliquer mais _f(x)=x² est une fonction monôme du second degré (plus courament appelé carré =p),
_f(x)= ax²+bx est un binôme du second degré,
_f(x)= ax^3+bx²+c est une fonction trinôme du 3° degré.

x ^8 = 256 est du huitième degré!?.. mais pourtant, on peut facilement trouver ses solutions.

Donc oui, ce n'est pas le degré qui fait la difficulté mais le nombre de monôme du polynôme...

Si quelqu'un peut m'aider à dire ça un peu plus correctement^^ :marteau:

par **Sve@r** » 31 Oct 2009, 00:19

eratos a écrit:Si quelqu'un peut m'aider à dire ça un peu plus correctement^^ :marteau:

Pas de pb: Le degré d'une équation est son exposant le plus fort. Mais la difficulté à résoudre une équation n'est pas fonction de son degré mais du nombre de ses éléments

par **eratos** » 31 Oct 2009, 00:25

²ment mieux. :happy2:

par **Lostounet** » 31 Oct 2009, 00:27

Sve@r a écrit:Pas de pb: Le degré d'une équation est son exposant le plus fort. Mais la difficulté à résoudre une équation n'est pas fonction de son degré mais du nombre de ses éléments

Ah merci beaucoup, je comprends un peu mieux (j'espère!). Je garde le fil pour d'éventuelles questions, je suis en pleine révision. Ah et euh.. pour les mo/bi/poly/nômes, je vais voir dans mon dico de maths, et voir plus en détail, mais si vous avez quelque chose à rajouter, n'hésitez pas!

Merci encore

par **Timothé Lefebvre** » 31 Oct 2009, 09:49

Salut toi ;)

pour ton exemple, x²=9, regardons-le.

x²-9=0

Tu te rappelles qu'on a vu qu'un polynôme du second degré était de la forme ax²+bx+c. Ici c'en est un, avec a=1, b=0 et c=-9.

Dans l'expression classique d'un polynôme du second degré, seul a doit être différent de 0 (eh oui, sinon on a pas de terme au second degré !), b et c peuvent être nuls.
Ainsi, la fonction f(x)=x² est considérée comme un polynôme du second degré où b et c sont nuls.
Dans le sens inverse, f(x)=0x²+bx+c=bx+c est une fonction affine (ne jamais écrire 0x² :lol: c'était juste pour te montrer). Une fonction affine est un polynôme du premier degré.

Voilà pour les explications complémentaires :)

Au plaisir !

par **benekire2** » 31 Oct 2009, 10:01

Regarde,
x² est un polynôme du second degré et pourtant ses racines sont évidentes.
maintenant prend:
x²-9 rien de bien compliqué
ou alors 4x²-16x là aussi c'est facile
mais 4x²+2x-18 là ça se complique!!

Donc au final tu avais raisons, ton équation en exposant 8 était bien du 8ème degré, pourtant tu as bien vu que le degré ne dit rien sur la complexité...

par **Timothé Lefebvre** » 31 Oct 2009, 10:03

Je me rappelle lui avoir fait un cours sur les fonctions polynômes un jour, jusqu'à ce qu'il me dise qu'ils n'avaient pas encore étudié les fonctions en cours ^^

Lostounet, relis le cours qu'on avait fait ensemble, ça doit te sembler plus clair désormais !

par **benekire2** » 31 Oct 2009, 10:13

Timothé Lefebvre a écrit:Je me rappelle lui avoir fait un cours sur les fonctions polynômes un jour, jusqu'à ce qu'il me dise qu'ils n'avaient pas encore étudié les fonctions en cours ^^

Lostounet, relis le cours qu'on avait fait ensemble, ça doit te sembler plus clair désormais !

Ben au moins il aime les maths ^^

par **Timothé Lefebvre** » 31 Oct 2009, 10:14

Dans 2 ans (ou moins :lol2:) on lui fait manger des Olympiades au petit dej' !

par **Sve@r** » 31 Oct 2009, 11:01

Lostounet a écrit:mais si vous avez quelque chose à rajouter, n'hésitez pas!

Pas de pb. On n'a pas trop parlé de la difficulté à résoudre une équation. Examinons un peu en fonction du degré
- équation avec polynôme de degré 0: 5 = 0 => Cette équation est impossible à résoudre. En effet, 5 ne sera jamais égal à 0

- équation avec polynôme de degré 1: ax + b = 0 => Cette équation se résoudra toujours. Parce que la fonction associée f(x)=ax + b représente une droite et que la droite, à moins d'être parallèle avec l'axe [Ox) (ce qui n'arrive que si a = 0 ce qui ramène alors à un polynôme de degré 0 comme dans l'exemple précédent), coupera forcément quelque part l'axe [0x) donc passera par un point où y vaut 0

- équation avec polynôme de degré 2: ax² + bx + c = 0 => Cette équation amène 2 possibilités
1) l'ensemble de ses coefficients est arrangé de telle manière que la courbe de la fonction ne peut pas couper l'axe [Ox) donc ne peut jamais être égale à 0. C'est par exemple le cas de x² - 7x + 15. x² fait monter les x dans le positif et -7x ne les ramène pas assez vers le négatif et le +15 ferme définitivement la possibilité. Donc x² - 7x + 15 = 0 n'a pas de solution dans le monde réel
2) inversement, les coefficients sont différents et la courbe peut couper l'axe [0x) donc l'équation a une (ou au maximum deux) solutions. Exemple x² - 7x + 12 = 0 => x=3 ou x=4
Une équation de degré 2 admet au-moins une solution si b² - 4ac >= 0

Ainsi, ce n'est pas le degré d'une équation qui définit la complexité à la résoudre, et même parfois ce n'est pas non plus à cause du nombre de ses éléments...

Sur ce site http://www.mathe-fa.de/fr#anchor on peut tracer des courbes en inscrivant simplement la fonction dans les champs qui vont bien.

Et ici le résultat graphique des 4 fonctions données en exemple

par **Lostounet** » 01 Nov 2009, 18:16

Merci beaucoup pour ta réponse détaillée ! J'ai pu comprendre les notions générales, mais pas les "démonstrations" - ou justifications, désolé :(

par **Sve@r** » 01 Nov 2009, 19:13

Lostounet a écrit:Merci beaucoup pour ta réponse détaillée ! J'ai pu comprendre les notions générales, mais pas les "démonstrations" - ou justifications, désolé

Ben c'est facile à voir avec l'image mais avant tout, il faut comprendre que l'axe horizontal noir numéroté "0" correspond à l'axe [Ox). L'axe vertical noir numéroté 0 correspond à l'axe [Oy). Et pour une fonction considérée, chaque point de sa courbe a pour coordonnées (x, y) avec x variant de -infini à +infini et y=f(x).

De plus, l'axe [Ox) représente l'ensemble des points où f(x) vaut 0. Donc résoudre une équation f(x)=0, c'est trouver x quand la courbe représentative de f coupe ce fameux axe [Ox)

1) la droite rouge est la représentation de la fonction f(x)=5. Comme tu peux le voir, elle est parallèle à l'axe [Ox) donc ne pourra jamais le couper. Donc l'équation f(x)=0 ne peut pas être résolue

2) la courbe bleue, représentation de la fonction f(x)=x² - 7x + 15 ne descend pas assez pour atteindre l'axe [Ox) donc l'équation f(x)=0 ne peut pas non plus être résolue

Pour les autres fonctions, on voit qu'il existe différents x (parfois un, parfois deux) pour lesquels f(x) vaut 0 donc chaque équation représentée par une de ces courbes a au-moins une solution

par **Lostounet** » 01 Nov 2009, 19:17

Je comprends mieux. Ces courbes peuvent-elles facilement être tracées à main levée?

par **Sve@r** » 01 Nov 2009, 21:50

Lostounet a écrit:Je comprends mieux. Ces courbes peuvent-elles facilement être tracées à main levée?

Pour une droite (fonction du premier degré) oui (suffit de 2 points). Pour les autres il y a des opérations à faire qui te donnent un canevas, un brouillon de tracé qui te permet ensuite de faire le tracé réel. Mais tu apprendras à faire ça en 1ère.
Et si c'est juste pour une vision rapide, t'as ce site http://www.mathe-fa.de/fr#anchor qui les trace pour toi.

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