Point fixe d'une involution

[Imod]

Un petit problème dans l'air du temps ( je n'ai pas de démonstration simple ) .

"Toute involution ( fof=Id ) continue du plan admet un point fixe" .

Vrai ou faux ???

Imod

[benekire2]

Salut , en rajoutant la bijectivité de f on arrive a montrer qu'il y a une unique point fixe, mais sinon, pour l'instant je ne vois rien ...

[ffpower]

J'étais persuadé que tu l'avais déjà posé, celle là..Mais bon je la trouve pas, c'était p-e quelqu'un d'autre. En tout cas je me souviens que t'avais dit que t'avais pas de solution élémentaire et tout. Bref c'est pas bien grave vu qu'il n'y avait pas eu de solutions proposées au final.

Sinon, moi je proposerai de commencer par traiter le cas d'un échiquier infini :)

[ffpower]

Salut , en rajoutant la bijectivité de f on arrive a montrer qu'il y a une unique point fixe, mais sinon, pour l'instant je ne vois rien ...

f est nécessairement bijective..mais je vois pas en quoi ca aide..

[benekire2]

f est nécessairement bijective..mais je vois pas en quoi ca aide..

A oui, en réfléchissant un tout petit peu oui f est forcément bijective ..

Sauf erreur :

Si f est strictement croissante alors f(x)=x pour tout x ,

Si f est strictement décroissante alors avec on montre que h=Id-f est bijective pour conclure sur l'unicité ( et l'existence obv) du point fixe.

Edit . J'ai ma lu l'énoncé j'ai cru qu'on parlait de R dans R mais non ... , et je me demandais pourquoi une question si "simple" ...

[Doraki]

Si f n'a pas de point fixe, alors en chaque point x on peut associer g(x) dans S1 = la direction du vecteur f(x)-x.

Si on prend un x au hasard, qu'on fait un chemin ;) vers f(x), puis qu'on reboucle vers x avec f°;),
ça donne une application h : S1 -> R²,
telle que g°h : S1 -> S1 vérifie g°h(-x) = -g°h(x).

Ca devrait impliquer que l'indice de g°h est impair.
Or h peut être prolongée en une application continue du disque unité dans R², et donc l'indice de g°h est forcément nul. D'où une contradiction.

La méthode permet quand même de trouver le point fixe par dichotomie :
On trouve une boucle qui donne un indice non nul,
on coupe la boucle en 2, y'aura une moitié qui sera d'indice non nul, et on continue jusqu'à tomber par miracle sur un point fixe ou jusqu'à ce que la boucle devienne de plus en plus petite autour d'un point fixe.

[ffpower]

Bon une méthode qui marche probablement, mais qui est loin d'être satisfaisante tellement elle fait appel à des outils compliqués :
On commence par remarquer que f est bijective, on choisit a quelconque, on relie a à f(a) par un chemin injectif ( par exemple par un segment ), l'image de ce chemin par f relie f(a) à a, ce qui permet de créer un lacet de jordan J, qui délimite une surface interieure compacte F homéomorphe au disque unité. Du fait que f(J)=J, on en déduit que F et stable par f et on conclut par Brouwer.

Donc voilà, succession de gros théoremes quoi^^

edit : doublé par Dorak..J'ai pas encore lu sa preuve, mais ca a l air plus simple^^

[Imod]

J'avais aussi une démonstration avec le même type d'argument ( indice et Brouwer ) . En fait ces problèmes ne sont pas vraiment faciles :triste:

Imod

[Imod]

Pour rebondir sur la proposition de ffpower , y'a-t-il une démonstration plus simple sur un échiquier . En traduisant la continuité par "les images de 2 cases voisines sont deux cases voisines" . On peut donner à "voisin" le sens que l'on veut , côté ou sommet en commun .

Imod

[Doraki]

L'ennui c'est qu'à part les réflexions et les rotations, je vois pas beaucoup d'involutions "continues" de Z² dans Z².
Pour le coup c'est beaucoup moins riche.

[Ben314]

Je rajouterais que, si dans Z², tu fait une reflexion par rapport à "un coté de carré" (style (x,y)->(1-x,y)) alors tu n'as pas de point fixes...

[Doraki]

Y'aurait pas un moyen de montrer que des involutions continues sont conjuguées à id, une réflexion, ou une rotation d'angle pi ?

[Ben314]

Y'aurait pas un moyen de montrer que des involutions continues sont conjuguées à id, une réflexion, ou une rotation d'angle pi ?

Dans le cas continu ou dans le cas discret ?

Dans le cas discret,j'ai bien l'impression que, quelque soit la définition que l'on prend de continu (4 cases "voisines" ou 8 cases "voisines"), on a vite fait de déterminer tout les homéomorphismes de Z² (je pense qu'ils n'y a que les rotations d'angle k.pi/2 et les reflexions d'axe horizontal ou vertical )

Par contre, dans le cas continu, ça me parait pas du tout évident que toute involution soit conjugué à une symétrie.

[Doraki]

Dans le cas continu.

Oui ça paraît absolument pas trivial, mais ça me paraît quand même vrai :/

[Imod]

Si on pouvait prouver que l'ensemble des points fixes est un point , le plan , ou une courbe homéomorphe à R on aurait déjà fait un grand pas .

Mais bon :hein:

Imod