Le point dans le carré

par **chan79** » 26 Juin 2013, 20:26

Bonjour à tous
Calculer l'aire d'un carré ABCD sachant qu'il existe un point M, situé à l'intérieur de ce carré tel que:
MA=2
MB=7
MC=9
Niveau lycée

par **Duke01** » 27 Juin 2013, 20:15

Bonjour,
fais un petit dessin de ton carré avec un point M placé arbitrairement pour mieux comprendre la situation (et surtout mon raisonnement).

J'appelle alpha l'angle (non orienté) (MA,MB) et de même bêta l'angle (MB,MC).
Par Al-Kashi dans les triangles AMB et BMC :
AB^2=AM^2+BM^2-2AM*BM*cos(alpha)
BC^2=BM^2+CM^2-2BM*CM*cos(bêta) et BC=AB (car côtés du même carré)

On a alors 3 inconnues (AB que l'on cherche, alpha et bêta que l'on ne connait pas à priori) pour deux équations. Il en faut une troisième :
Par Al-Kashi dans le triangle AMC, en remarquant que AC^2=2*AB^2 :
2*AB^2=AM^2+CM^2-2*AM*CM*cos(alpha+bêta).

D'où un système 3 équations à trois inconnues que je te laisse le soin de terminer, l'aire du carré étant bien-sûr finalement AB^2.
En espérant avoir été clair sur ce (subtil) problème.

par **Luc** » 27 Juin 2013, 21:06

Bonjour,

je pense que chan79 connait la solution de ce défi :lol3:

par **fma** » 27 Juin 2013, 21:19

J'hésite entre faire semblant d'avoir trouvé, ou me taire parce que j'ai trouvé que tchan connaît la musique.

Pythagore quand tu nous tiens !

par **Duke01** » 27 Juin 2013, 21:57

Certes mais s'il s'agit d'un problème "mathématique" posé tel quel la résolution numérique par géogébra n'a pas grand intérêt. Analytiquement, je ne vois rien d'autre que ce que j'ai déjà posté avec Al-Kashi

par **fma** » 27 Juin 2013, 22:01

Duke01 a écrit:Certes mais s'il s'agit d'un problème "mathématique" posé tel quel la résolution numérique par géogébra n'a pas grand intérêt. Analytiquement, je ne vois rien d'autre que ce que j'ai déjà posté avec Al-Kashi

Ce théorème est-il au programme du Lycée ?

par **Duke01** » 27 Juin 2013, 22:19

Oui, en Scientifique en tout cas. 1ère S ou TS je ne sais plus. (J'y étais l'année dernière, je ne pense pas que le programme ait pu changer si vite, même si la tendance est à la suppression de la géométrie)

par **fma** » 27 Juin 2013, 22:34

Pourquoi le dessin a-t-il été supprimé ? C'est juste une aide qu'on peut imprimer pour travailler dessus.
Du coup, je quitte ce défi qui n'a plus de sens pour moi.
Le cauchemar, encore, et encore.....
Une réponse, svp où je quitte le forum

par **beagle** » 27 Juin 2013, 23:03

J'ai trouvé que c'était la moitié de l'aire du triangle rectangle ABC.
Soit un triangle rectangle en B , ABC, et un point M, calculez l'aire du triangle.

Sinon le coté du carré faisait 7,6997,
mais c'est tombé du camion!

fma , pourquoi t'as supprimé ton dessin?

par **fma** » 27 Juin 2013, 23:10

beagle a écrit:J'ai trouvé que c'était la moitié de l'aire du triangle rectangle ABC.
Soit un triangle rectangle en B , ABC, et un point M, calculez l'aire du triangle.

Sinon le coté du carré faisait 7,6997,
mais c'est tombé du camion!

fma , pourquoi t'as supprimé ton dessin?

Ok, 7,669701964

ON a supprimé mon dessin.
J'ai tellement connu ce genre de procédé arbitraire chez les modérateurs , que je suis à un point de désarroi tel que j'ai viré tout un travail sur ce forum, qui m'est si cher.

par **beagle** » 27 Juin 2013, 23:12

fma a écrit:Ok, 7,669701963

ON a supprimé mon dessin.
J'ai tellement connu ce genre de procédé arbitraires chez les modérateurs , que je suis à un point de désarroi tel que j'ai viré tout un travail sur ce forum, qui m'est si cher.

Ah, ok, encore un abus de modération!
Et on sait qui a busé?
fma, tu peux si c'est le cas remplir un dossier dans mon fil "pour Tom: abus de modération",
au niveau à propos de ce site.

par **fma** » 27 Juin 2013, 23:23

beagle a écrit:Ah, ok, encore un abus de modération!
Et on sait qui a busé?
fma, tu peux si c'est le cas remplir un dossier dans mon fil "pour Tom: abus de modération",
au niveau à propos de ce site.

Non, je ne veux pas plomber l'ambiance et je n'ai pas de réponse, donc je ne sais pas ce qui s'est passé.
Si c'est le cas, j'en ai assez des juges sans conscience.
La science est la nouvelle religion, qui a tout pouvoir aux mains d'une poignée d'hommes, quel que soit le groupe considéré.
J'ai 40 ans d'expérience sur le sujet : écoutez la radio, c'est toujours les mêmes, un quarteron, qui sont auditionnés et qui se congratulent pour verrouiller le pouvoir, comme si tous les humbles chercheurs du CNRS n'avaient rien à dire.

par **mathafou** » 27 Juin 2013, 23:33

Bonjour,

il n'y a de toute façon pas besoin d'Al-Kashi ni de considérations d'angles pour ce problème classique.
le théorème de Pythagore suffit.
soit x la distance de M au côté AB et y sa distance au côté BC
MA = a = 2
MB = b = 7
MC = c = 9
MD = d inconnu
côté du carré = s inconnu.

alors avec Pythagore dans les divers triangles rectangles de sommet M :
(1) a² = x² + (s-y)²
(2) b² = x² + y²
(3) c² = (s-x)² + y²
(4) d² = (s-x)² + (s-y)²

en éliminant x et y entre les 3 premières équations, on obtient une équation du second degré en s² (c'est à dire en l'aire cherchée)
et voila.

la 4 ème équation permet en éliminant x, y et s, d'obtenir d, la distance au 4ème sommet du carré.

par **beagle** » 27 Juin 2013, 23:35

fma a écrit:Non, je ne veux pas plomber l'ambiance et je n'ai pas de réponse, donc je ne sais pas ce qui s'est passé.
Si c'est le cas, j'en ai assez des juges sans conscience.
La science est la nouvelle religion, qui a tout pouvoir aux mains d'une poignée d'hommes, quel que soit le groupe considéré.
J'ai 40 ans d'expérience sur le sujet : écoutez la radio, c'est toujours les mêmes, un quarteron, qui sont auditionnés et qui se congratulent pour verrouiller le pouvoir, comme si tous les humbles chercheurs du CNRS n'avaient rien à dire.

ce qui est curieux, c'est que les modos signent leurs actes, et là il n' y a pas de traces de modos.
Donc soit tu as fait une mauvaise manip, soit un évènement inexpliqué genre le fantome de maths forum qui se nourrit des messages ...

par **fma** » 27 Juin 2013, 23:38

beagle a écrit:ce qui est curieux, c'est que les modos signent leurs actes, et là il n' y a pas de traces de modos.
Donc soit tu as fait une mauvaise manip, soit un évènement inexpliqué genre le fantome de maths forum qui se nourrit des messages ...

Merci pour ton attention

par **beagle** » 27 Juin 2013, 23:41

"il n'y a de toute façon pas besoin d'Al-Kashi ni de considérations d'angles pour ce problème classique.
le théorème de Pythagore suffit."

vi, trois fois Pythagore + 1 fois wolfram c'est ce que j'avais fait.

par **beagle** » 28 Juin 2013, 00:04

Duke01 a écrit:Oui, en Scientifique en tout cas. 1ère S ou TS je ne sais plus. (J'y étais l'année dernière, je ne pense pas que le programme ait pu changer si vite, même si la tendance est à la suppression de la géométrie)

fma, j'ai trouvé , c'est de la faute à Duke01, il a écrit suppression de la géométrie.
Donc exit ta résolution géométrique.L'ordinateur aux commandes de maths forum exécute au premier degré.
Bah, il était joli quand mème ton dessin!

Ou alors c'est un vol.Mais je sais pas comment on peut voler les messages.vu mon niveau en informatique je ne suis pas suspect!

par **mathafou** » 28 Juin 2013, 01:15

beagle a écrit:vi, trois fois Pythagore + 1 fois wolfram c'est ce que j'avais fait.

pas besoin de wolfram, ça se fait très bien à la main. il y faut juste un peu d'astuce pour combiner et substituer "judicieusement"
(numérotage des équations précédentes)
En retranchant (3) - (2) on obtient c² - b² = s² - 2sx soit :
x = (s² - c² + b²)/2s
De même en retranchant (1) - (2) : y = (s² - a² + b²)/2s
En portant x et y dans (2) :
(s² - c² + b²)² + (s² - a² + b²)² = 4b²s² et l'équation :

2(s²)² - 2(a²+c²)s² + (b² - c²)² + (b² - a²)² = 0

par **Benjamin** » 28 Juin 2013, 07:58

Bonjour,

Je ne vois pas trace de figure supprimée. Où et quand avais-tu mis cette figure ? Pour le coup, je pense plus à un bug ou une mauvaise manip' qu'à un coup des modos...

A+

par **chan79** » 28 Juin 2013, 08:26

mathafou a écrit:pas besoin de wolfram, ça se fait très bien à la main. il y faut juste un peu d'astuce pour combiner et substituer "judicieusement"
(numérotage des équations précédentes)
En retranchant (3) - (2) on obtient c² - b² = s² - 2sx soit :
x = (s² - c² + b²)/2s
De même en retranchant (1) - (2) : y = (s² - a² + b²)/2s
En portant x et y dans (2) :
(s² - c² + b²)² + (s² - a² + b²)² = 4b²s² et l'équation :

2(s²)² - 2(a²+c²)s² + (b² - c²)² + (b² - a²)² = 0

Ca me paraît bon, tout ça! :++:
Voici une autre possibilité:

Soit x le côté du carré
D'après le théorème d'Al Kashi dans les triangles ABM et BCM

On transforme un peu

car

et

sont complémentaires
On élève au carré et on ajoute membre à membre. Les angles ont la bonne idée de disparaître

doit vérifier

On trouve que l'aire demandée est

Le côté du carré est

soit 7.69970196...
Une remarque:
Si on veut calculer la distance y=MD, avec les notations du dessin ci-dessous, on écrit 4 fois l'égalité de Pythagore et on additionne:

a²+c²=4
49 = b²+c²
b²+d²=81
y²=a²+d²
Par addition
y²=81+4-49 et on a y=6

Le point dans le carré

Le point dans le carré

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