Exo défis

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Posted by: ThSQ

Exo sympa (coriace et intéressant) trouvé sur un autre forum :

a_1 = 1
a_{n+1} = 1+a_1 \times a_2 \times ....... \times a_n
S_n = 1/a_1 + 1/a_2 + ...... + 1/an

Limite de S_n


Posted by: raito123

jE CJe crois que ce n'est pas ** mais plutôt * (sans latex)


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par ThSQ
Exo sympa (coriace et intéressant) trouvé sur un autre forum :

a_1 = 1
a_{n+1} = 1+a_1 \times a_2 \times ....... \times a_n
S_n = 1/a_1 + 1/a_2 + ...... + 1/an

Limite de S_n

c'est facile puisque on a \forall n\ge 2:\ \frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_n-1}-\frac{1}{a_{n+1}-1}
en effet: a_{n+1}=1+a_n\bigprod_{i=1}^{n-1}a_i=1+a_n(a_n-1)
donc \frac{1}{a_{n}-1}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_n(a_n-1)}=\frac{1}{a_{n+1}-1}
d'ou S_n=1+\frac{1}{a_2-1}-\frac{1}{a_{n+1}-1}
donc S_n\to 1+\frac{1}{2-1} car a_2=2 et a_{n+1}-1\to +\infty










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