Mathématiques - Définition de N

Définition de N
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Posted by: Aoyama

Bonjour,

je commence à relire mon cours de sup et y'a un point que je suis pas sûr de comprendre, je recopie le paragraphe :

Il existe un unique ensemble, noté N, qui soit muni d'une application s : N -> N telle que :
- il existe un unique élément "qui n'est le suivant de personne" ie dans N\s(N) noté 0
- si un ensemble A de N contient 0 et le suivant de chacun de ses éléments, alors A=N
(à quelque chose près : bijection compatible avec s)

Bijection compatible, ça signifie quoi exactement ?
C'est peut-être les applications qui vont de 2 en 2, de 3 en 3, etc... ? Ce qui signifierait que A=N ou 2N ou 3N, etc... ?

Posted by: abcd22

Bonsoir, je pense que si on appelle $\varphi$ la bijection, $\varphi$ est compatible avec s si et seulement si pour tout entier $n \in \mathbb{N}$ , $s(\varphi(n)) = \varphi(s(n))$ .

Posted by: buzard

en faite la compatibilite d'une application, c'est un abus de langage on parle plutot de la compatibilite d'une relation binaire avec une operation.

si l'operation est binaire, on parle de compatibilite a droite et à gauche. Par exemple la relation de congruence modulo n est compatible avec l'addition et la multiplication des entiers. la propriété est la suivante :
$\left\{\begin{array}{r} x \, \mathcal{R} \, y \\ x' \, \mathcal{R} \, y' \end{array} \right. \ \Rightarrow\ x \bot x' \, \mathcal{R} \, y \bot y'$

pour une operation unaire (le successeur des entiers par exemple) on doit avoir :
$x\mathcal{R}y\Rightarrow x^\bot\mathcal{R}y^\bot$

si R est une relation fonctionnelle alors on ecrit (x R y) <=> y=f(x).

mais attention, dans ton cas l'espace de départ et l'espace d'arrivé ne sont pas les mêmes, en faite on préfère parler de transport de structure (ou morphisme)

$f(x^\bot)=f(x)^\top\\ f(x\bot y)=f(x)\top f(y)$

ainsi dire que $\mathbb{N}$ est unique au bijection compatible avec le successeur, c'est tout simplement dire qu'on aurais pu appeler différement les entiers. Ou encore :

si (E,s) et (F,s') sont deux magmas vérifiant les axiomes (A1), (A2) et (A3), il existe une application bijectif f (en plus elle est unique) tel que :

f(s(n)) = s'(f(n))