Mathématiques - Défi 2.9

Défi 2.9
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Posted by: yos

Montrer que $\sqrt1+\sqrt2+...+\sqrt n$ est irrationnel.

Posted by: emdro

Si n>1 ?????????

Posted by: yos

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Posté par emdro

Si n>1 ?????????

à ton avis?

Posted by: emdro

Un petit manque d'humour en ce début d'après-midi?

Posted by: yos

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Posté par emdro

Un petit manque d'humour en ce début d'après-midi?

C'est sûr, à l'écrit on peut l'interpréter ainsi. Désolé en ce cas (de ma sèche réponse et de ne pas avoir vu l'humour de ton message).

Posted by: Imod

Un exercice que j'ai déjà fait il y a quelques années . On considère $P$ l'ensemble des nombres premiers et pour $A$ une partie finie de $P$ , $\displaystyle{B_A=\{\prod_{p\in A}p^{i_p} \text{ avec }i_p=0 \text{ ou }0,5}}$ , $\displaystyle{Q_A \text{ le }\mathbb{Q}}$ -espace vectoriel engendré par $B_A$ . On démontre alors par récurrence sur $Card(A)$ que :
1°) $Q_A$ est un corps .
2°) Si $p$ est un entier premier n'appartenant pas à $A \subset P$ et x un entier non nul et non multiple de $p$ alors $\sqrt{px}\notin Q_A$ .
3°) $B_A$ est une base de $Q_A$ .

La conclusion découle directement du 3°) .

Imod

Posted by: yos

J'ai fait un truc qui doit revenir au même :
Soit $x=\sqrt1+...+\sqrt n$ , $(p_i)$ la suite croissante des nbs premiers, $p_k$ le plus grand nombre premier $\leq n$ .
Si $x\in Q$ , alors $\large \sqrt p_k\in \mathbb{Q}(\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2}, ...,\sqrt{p_{k-1}})$ ,
donc $\large \mathbb{Q}(\sqrt p_k)\subset \mathbb{Q}(\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2}, ...,\sqrt{p_{k-1}})$ , mais d'après la théorie de Galois, les seules extensions quadratiques incluses dans $\large \mathbb{Q}(\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2}, ...,\sqrt{p_{k-1}})$ sont les $\large \mathbb{Q}(\sqrt{\prod p_i})$ (le produit étant pris sur les parties non vides de {1,...k-1}). Aucune d'elle n'est $\large \mathbb{Q}(\sqrt{p_k})$ (L'égalité $\mathbb{Q}(\sqrt d)=\mathbb{Q}(\sqrt d')$ équivaut à d/d' est un carré parfait).

Posted by: yos

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Posté par Imod

On démontre alors par récurrence sur $Card(A)$ que :
1°) $Q_A$ est un corps .
2°) Si $p$ est un entier premier n'appartenant pas à $A \subset P$ et x un entier non nul et non multiple de $p$ alors $\sqrt{px}\notin Q_A$ .
3°) $B_A$ est une base de $Q_A$ .

La conclusion découle directement du 3°) .

C'est le point 2°) qui me semble crucial.

Mais bon c'est ce que je pensais : pas trop d'astuce mais de la théorie des corps. Pourtant cet exo se trouve dans un livre d'oral de capes.

A toi le flambeau Imod.

Posted by: Imod

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Posté par yos

pas trop d'astuce mais de la théorie des corps. Pourtant cet exo se trouve dans un livre d'oral de capes.

C'est là que je l'avais vu la première fois et si la méthode que je propose utilise peu de GROS résultats sur les extensions de corps elle nécessite tout de même un "petit" bagage .

Imod

Posted by: yos

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Posté par Imod

si la méthode que je propose utilise peu de GROS résultats sur les extensions de corps elle nécessite tout de même un "petit" bagage .

Je me permets cette critique de cette méthode : elle semble vouloir s'abaisser au niveau mathsup au prix d'artifices tordus. Je préfère les bons outils : on voit mieux ce qui se passe. De plus il n'y a pas besoin d'avoir fait M1 pour voir l'essentiel.
Mais bon ça m'intéressait de voir comment on fait ça avec des outils de Capes (donc de terminale C), et sur ce point j'ai ma réponse.

Posted by: Imod

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Posté par yos

J'avais eu l'idée de cette démonstration quand je préparais l'oral du Capes il y a bien longtemps , personnellement je n'y vois pas d'artifice tordu . Mais bon , je ne cherche pas à critiquer ta méthode , d'autant que j'ai toujours eu un faible pour celles qui donnent du sens à la solution

Imod

PS : je suis prof en collège depuis 25 ans et je ne suis pas au fait des programmes du supérieur , si la tienne est compréhensible par un mathsup , le niveau n'a sûrement pas baissé .

Posted by: yos

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Posté par Imod

si la tienne est compréhensible par un mathsup , le niveau n'a sûrement pas baissé .

Non je me suis mal fait comprendre. Du moment où on dit "Galois" , un mathsup ne peut peut pas la comprendre. Et c'est justement le point crucial de la preuve. Tout le reste (corps obtenus en ajoutant des éléments à Q ...) on peut le faire en L1 dans un DM et c'est d'ailleurs ce qui se pratique.

Disons qu'un prof de math, avec de vieux souvenirs de maîtrise, sait en gros que les corps intermédiaires sont décrits par la théorie de Galois et ça suffit pour qu'il voit la preuve.

Pour ta preuve, chapeau puisque c'est ton idée.

Posted by: BiZi

Bonjour,

Existe-t-il une solution (pas trop compliqué) niveau terminale S (spé maths)? Si oui merci de ne pas la donner tout de suite

Posted by: yos

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Posté par BiZi

Bonjour,

Existe-t-il une solution (pas trop compliqué) niveau terminale S (spé maths)? Si oui merci de ne pas la donner tout de suite

Bof.
Tu peux chercher un cas particulier comme montrer que
$\sqrt2+\sqrt3\notin \mathbb{Q}$
voire :
$\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5\notin \mathbb{Q}$ .

Posted by: olivthill

Racine carrée de deux est un nombre irrationnel.
Donc, pour que la suite ne soit pas irrationnelle, il faudrait que la somme des autres racines tendent vers l'opposé de racine de deux +/- n, ce qui n'est pas le cas.

Posted by: Imod

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Posté par BiZi

Existe-t-il une solution (pas trop compliqué) niveau terminale S (spé maths)? Si oui merci de ne pas la donner tout de suite

Je crains que non , sous son aspect très simple le problème cache une vraie difficulté . Un minimum de connaissances sur la structure d'espace vectoriel et de corps est indispensable .

Imod

Posted by: yos

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Posté par olivthill

Racine carrée de deux est un nombre irrationnel.
Donc, pour que la suite ne soit pas irrationnelle, il faudrait que la somme des autres racines tendent vers l'opposé de racine de deux +/- n, ce qui n'est pas le cas.

Il n'y a pas de suite. Il y a un réel et on veut prouver qu'il est irrationnel.