Soit E euclidien de dimension n.
Soit F une famille de vecteurs de E telle que x|y<0 pour tout couple (x,y) d'éléments distincts de F.
Cardinal maximum de F ?
Posted by: fahr451
le résultat est n+1
Posted by: fahr451
on montre que n+1 est possible
par récurrence
n= 1 i et -i convient sur Ri
on suppose le résultat pour n
on se place ds E de dim n+1
et e(n+2) unitaire
dans H = hyperplan orthogonal à e(n+2) on applique l'hypothèse
e(1) , ...,e(n+1) convenant dans H on prend
e'(i) = e(i) + ae(n+2) avec a réel non nul assez petit
e'(n+2) = e(n+2)
les e'(i) conviennent
on montre que n+2 ne convient pas
par l'absurde
si dans E de dim n on a
e(1) , ...,e'(n+2) convenant en projetant sur H l'hyperplan orthogonal à
e(n+2)
on trouve n+1 vecteurs dans H qui conviennent et par récurrence descendante on trouve sur une droite 3 vecteurs qui conviennent absurde
Posted by: yos
Bien vu. Je vais regarder le coup de la récurrence descendante, mais j'ai confiance.
Ma preuve du fait que n+2 est impossible est un peu plus laborieuse que la tienne.
A toi le défi 2.8