Défi 2.6

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Posted by: alben

Désolé BQss, en rendant moi message invisible, j'avais pensé permettre à ceux qui avaient envie de chercher de le faire.
Pour me faire pardonner (et aussi parce que je n'ai pas de stock d'énigmes) je propose une histoire de proba

Six personnes portant chacune un chapeau se rendent au restaurant et déposent leurs couvre-chefs avant de déjeuner. Après un repas bien arrosé, elles reprennent chacun un chapeau au hasard car elles ne sont pas en état de choisir.
1 Quelle est la probabilité qu'aucune ne reprenne son propre chapeau.
2 généralisation à n personnes et n chapeaux et limite de la probabilité.
Il est intéressant d'essayer de répondre à la question finale avant de faire les calculs, on risque d'être surpris.


Posted by: emdro

Elle ne tend pas vers 1/e cette probabilité, quand n tend vers l'infini?

C'est de mémoire, et cela date d'il y a 10 ans, alors rien de moins sûr...


Posted by: BQss

Citation:
Posté par alben
Désolé BQss, en rendant moi message invisible, j'avais pensé permettre à ceux qui avaient envie de chercher de le faire.
Pour me faire pardonner (et aussi parce que je n'ai pas de stock d'énigmes) je propose une histoire de proba

Six personnes portant chacune un chapeau se rendent au restaurant et déposent leurs couvre-chefs avant de déjeuner. Après un repas bien arrosé, elles reprennent chacun un chapeau au hasard car elles ne sont pas en état de choisir.
1 Quelle est la probabilité qu'aucune ne reprenne son propre chapeau.
2 généralisation à n personnes et n chapeaux et limite de la probabilité.
Il est intéressant d'essayer de répondre à la question finale avant de faire les calculs, on risque d'être surpris.


1)5*4*3*2*1/(6*5*4*3*2*1)

2)
(n-1)!/n!
lim 1/n donc 0


si le nombre de personne tend vers l'infini au moins une personne trouvera sont chapeau presque surement...


Posted by: alben

@emdro : si
@BQss : non


Posted by: emdro

Eh bien, chapeau la mémoire!


Posted by: BQss

qu'est c'qui ne colle pas avec ma reponse alben?
tu ne trouves pas comme moi?

:
le premier a 5/6 de ne pas prendre son chapeau
4/5 pour le deuxieme
3/4 ...
2/3
1/2

ca fait donc 5!/6!

ce qui donne 1/n! comme generalisation.


j'ai trouvé ma faute... je retente en denombrant correctement, parce que comme ca j'ecarte les choix ou on a pris son chapeau avant et donc ou la proba vaut 0.


Posted by: yos

Citation:
Posté par BQss
1)5*4*3*2*1/(6*5*4*3*2*1)

2)
(n-1)!/n!
lim 1/n donc 0


T'as répondu au hasard?


Posted by: BQss

non j'ai fait un calcul sans denombrement qui s'avere faux . voir plus haut.


Posted by: yos

On peut le faire avec la formule de Poincaré. Pour obtenir \large\sum_{k=0}^6\frac{(-1)^k}{k!}


Posted by: Imod

Je connaissais le problème avec des lettres et des enveloppes . Ce qui est surprenant c'est que quelque soit le nombre de chapeaux ( ou d'enveloppes ) il y a en moyenne une personne qui part avec son chapeau ( ou son courrier ) .

Imod


Posted by: yos

Citation:
Posté par Imod
Ce qui est surprenant c'est que quelque soit le nombre de chapeaux ( ou d'enveloppes ) il y a en moyenne une personne qui part avec son chapeau ( ou sont courrier ) .

Et c'est bien plus facile à établir que la question précédente (disons qu'on peut le faire en TS alors que Poincaré...)


Posted by: alben

Chapeau !
ça n'aura pas tenu longtemps.
A toi la main yos


Posted by: BQss

Ok j'ai le denombrement avec 15 minutes de retard:

6!- 1 - 6 - C(2,6) - C(3,6) - C(4,6) - C(5,6)

et on divise par 6!


je vais essayer de retomber sur le resultat en generalisant a partir de ca.


n! moins somme C(k,n) de 0 a n-1.

Divisant par n!

donc ma formule:

lim_n \frac{n!-\sum_{k=0}^{n-1} C(k,n)} {n!}


donc avec le binome de newton ca donne

lim_n \frac{n!-2^{n-1}} {n!}


Posted by: BQss

On tombe sur la demo de Yos?

Zut moi ca retend vers 1 lol.


Yos ton avis sur l'erreur de mon calcul, je n'en vois pas .


Posted by: alben

Si tu veux faire directement le dénombrement, il te faut établir une formule de récurrence. Si tu rajoutes un élément n+1, il y a deux possibilités :
1 le nouvel arrivant permute son chapeau avec celui d'un des personnages. Cela donne n fois le nombre de possibilités pour n-1.
2 le nouvel arrivant permute son chapeau avec celui qu'aurait pris un des personnages (et qui n'est pas le sien) n fois le nombre de possibilités pour n chapeau.
Finalement, on trouve comme relation de récurrence sur le nombre de possibilités avec n personnes : X(n+1)=nX(n)+nX(n-1)


Posted by: yos

Citation:
Posté par BQss
Yos ton avis sur l'erreur de mon calcul, je n'en vois pas .

Ben tu retires pas du tout ce qu'il faut à 6!


Posted by: BQss

Citation:
Posté par yos
Ben tu retires pas du tout ce qu'il faut à 6!


Recapitulons parce que la je rouille:
je compte toutes les possibilités, puis j'enleve le nombre de tirage ou tout le monde a son chapeau soit 1, puis le nombre de tirage ou une personne n'a pas son chapeau soit 6(je vois l'erreur...), puis le nombre de tirage ou 2 personnes n'ont pas leur chapeau soit C(2,6) ... ok ca plante, j'ai juste enelevé le nombre de maniere de prendre les deux personnes sans chapeau lol, sans compter les combinaisons de chapeau qu'ils avaient. et etc.

Lol en plus j'ai meme pas fait attention a ce que une personne toute seule ne pouvait pas se retrouver sans son chapeau...

C'etait pas si facile lol.



donc je recommence en bas :


Posted by: BQss

(parmis 6 personne aucun n'a un chapeau)= 6! - 1 - 1 - C(3,6)*(3!-1-3) - C(4,6)*(4!-1-C(2,4)-4*2) - 6*(parmis 5 personnes aucun n'a un chapeau)


J'avais pas vu que le probleme etait aussi chiant on voit en effet qu'il est judicieux d'etablir le resultat pour n parce qu'on a besoin des resultats anterieurs pour denombrer.

Meme pour 6 c'est fastidieux.


Posted by: BQss

Citation:
Posté par alben
Si tu veux faire directement le dénombrement, il te faut établir une formule de récurrence. Si tu rajoutes un élément n+1, il y a deux possibilités :
1 le nouvel arrivant permute son chapeau avec celui d'un des personnages. Cela donne n fois le nombre de possibilités pour n-1.
2 le nouvel arrivant permute son chapeau avec celui qu'aurait pris un des personnages (et qui n'est pas le sien) n fois le nombre de possibilités pour n chapeau.
Finalement, on trouve comme relation de récurrence sur le nombre de possibilités avec n personnes : X(n+1)=nX(n)+nX(n-1)


C'est en tentant de denombrer pour n=6 que je me suis rendu compte du caractere reccurent en effet.

Je pensais que c'etait beaucoup plus facile que ca.


Posted by: fahr451

problème historique des rencontres de malemort

comme déja dit en moyenne un homme tire son chapeau

si X est le nombre de rencontres on a donc E(X) = 1
et encore surprenant Var(X) = 1

problème équivalent à celui des dérangements :permutations sans point fixe.










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