Mathématiques - Défi 29

Défi 29
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Posted by: Imod

Un peu dans le même esprit que le précédent mais avec une continuité pour compliquer les choses .

Existe-il une fontion continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle que l'image de tout irrationnel soit irrationnelle , l'image de tout rationnel non nul soit rationnelle et l'image de 0 soit irrationnelle ?

Imod

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par Imod

Un peu dans le même esprit que le précédent mais avec une continuité pour compliquer les choses .

Existe-il une fontion continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle que l'image de tout irrationnel soit irrationnelle , l'image de tout rationnel non nul soit rationnelle et l'image de 0 soit irrationnelle ?

Imod

Salut Imod

Oui bien sûr ! difficile à voir mais théoriquement on le sens
On utilise tout simplement la caractérisation de Riemann !

L'ensemble de discontinuité est dénombrable donc négligeable.

Posted by: Imod

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

L'ensemble des points de discontinuité doit être vide et c'est le zéro qui pose problème sinon la fonction égale à l'identité sur $\mathbb{R}^*$ et prenant la valeur $\pi$ en 0 répondrait à la question .

Il faut fouiller un peu plus

Imod

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par Imod

L'ensemble des points de discontinuité doit être vide

pour dire que la fonction est continue ? tu penses que c'est tout ?

Posted by: Imod

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

pour dire que la fonction est continue ? tu penses que c'est tout ?

Je n'ai pas dit qu'elle était continue , justement , il y a un problème en 0 et toute la difficulté est de lever ce problème si tu vois ce que je veux dire !

Imod

Posted by: sandrine_guillerme

humm oublis tout ce que j'ai dis

je vais réfléchir.

Posted by: Imod

Pas de problème , Sandrine , il faut toujours un moment pour s'imprégner d'un défi et se "planter" un bon coup est sûrement plus profitable que nager en eau trouble . Tu as sans doute remarquer que je me plante souvent et sans honte : l'erreur fait partie de l'apprentissage

Imod

Posted by: sandrine_guillerme

Salut

je commence à gouter le problème je dirais que non il n'en existe pas de tel fonction (intuitivement)

Posted by: Imod

L'intuition joue parfois des tours

Imod

Posted by: maf

Selon mon intuiton, cela est possible ...

Pour une première raison, c'est que 0 étant un nombre rationnel par définition.
Un nombre rationnel est toujours entouré par 2 irrationnels donc, on peut espérer trouver la même valeur pour ces deux irrationnels et donner la limite en 0, pour cela, il nous faut donc une fonction indeterminée en 0.

Après quoi je me suis lancer dans des recherches avec des fonctions du type

G(x)/(H(x) + sin(I(x*pi))) ayant une indertermination en 0... mais rien de bien concluant ...

Posted by: Zebulon

Bonsoir,

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

Oui bien sûr ! difficile à voir mais théoriquement on le sens
On utilise tout simplement la caractérisation de Riemann !

L'ensemble de discontinuité est dénombrable donc négligeable.

ça, ça montrerait que cette fonction est intégrable au sens de Riemann.

Posted by: sandrine_guillerme

Oui tu as raison Zebulon .. tu as raison, c'est pour ça que j'ai dis a Imod d'oublier ce que j'ai dis ! :p

Posted by: Imod

Citation:

Posté par maf

Selon mon intuiton, cela est possible ...

Pour une première raison, c'est que 0 étant un nombre rationnel par définition.
Un nombre rationnel est toujours entouré par 2 irrationnels donc, on peut espérer trouver la même valeur pour ces deux irrationnels et donner la limite en 0 .

L'idée n'est pas loin , il faut considérer une suite à valeurs rationnelles convergent vers une valeur irrationnelle ( inutile de l'expliciter , on sait qu'il en existe ) et l'utiliser astucieusement .

Imod

Posted by: Imod

Une petite indication : si on considère une fonction affine non constante qui a deux images rationnelles pour deux valeurs rationnelles alors cette fonction envoie rationnel sur rationnel et irrationnel sur irrationnel .

Imod

Posted by: Joker62

f(x) = x :)
Bon c'était trivial...

Posted by: Imod

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Posté par Joker62

f(x) = x :)
Bon c'était trivial...

C'est bien sûr la première idée qui vient , le fait de pouvoir choisir n'importe quelle fonction affine prenant deux valeurs rationnelles pour deux rationnels ouvre pas mal de nouvelles perspectives . Reste à relier ça à notre suite .

Imod

Posted by: yos

Affine par morceaux reliant les points $(n,u_n)$ (et aussi les points $(-n,u_n)$ )?

Posted by: Imod

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Posté par yos

Affine par morceaux reliant les points $(n,u_n)$ (et aussi les points $(-n,u_n)$ )?

Affine par morceaux oui ! Mais pas avec les points que tu as choisi ( il faudrait faire tendre n vers 0

) Tu n'es pas loin de la solution !

Imod

Posted by: yos

Ah ben oui, c'est plutôt $(1/n, u_n)$ . Mais autour du point $(0,\sqrt2)$ , les segments de droite sont de plus en plus petit, donc il faut envisager une limite de suite de fonctions $f_n$ constantes sur [-1/n, 1/n] (et égales à $u_n$ ). cvu de fonctions continues et le fait qu'elle envoie Q* sur Q*, etc se vérifie facilement point par point. Il faut des détails?

Posted by: Imod

Citation:

Posté par yos

Ah ben oui, c'est plutôt $(1/n, u_n)$ . Mais autour du point $(0,\sqrt2)$ , les segments de droite sont de plus en plus petit, donc il faut envisager une limite de suite de fonctions $f_n$ constantes sur [-1/n, 1/n] (et égales à $u_n$ ). cvu de fonctions continues et le fait qu'elle envoie Q* sur Q*, etc se vérifie facilement point par point. Il faut des détails?

Ne serait-il pas plus simple de considérer une fonction affine $f$ sur $\displaystyle{[\frac{1}{n+1};\frac{1}{n}]}$ avec $f(\frac{1}{n})=u_n$ ( en éliminant de la suite toutes les valeurs "constantes" ) ? La fonction étant ensuite complétée par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées .

Imod

Posted by: yos

Il faut bien faire une limite non? Ton recollement avec le point 0 est pas très clair.

Posted by: Imod

La limite de f(x) en 0 est clairement la limite de la suite , non ?

Imod

Posted by: yos

Je dois pas tout comprendre. Voilà ma construction. Est-elle inutilement tordue?

On prend $(u_n)$ suite de rationnels qui converge vers $\sqrt2$ .
Pour chaque n, on définit la fonction $f_n$ de la façon suivante :
Pour k<n, f_n est affine sur [1/(k+1), 1/k] avec $f_n(1/k)=u_k$ , et $f_n(1/(k+1))=u_{k+1}$ . Elle est donc définie sur [1/n,0]. On la complète par symétrie sur [-1,-1/n]. Enfin, on relie les deux morceaux par un segment horizontal sur [-1/n,1/n].
On a ainsi une suite de fonctions continues dont la limite uniforme vérifie tout ce qu'il faut.

Posted by: Imod

Citation:

Posté par yos

Je dois pas tout comprendre. Voilà ma construction. Est-elle inutilement tordue?

Non bien sûr , je voulais simplement dire que l'on pouvait construire directement $f$ à partir de $u_n$ de la façon suivante :
$(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ à valeurs dans $\mathbb{Q}$ avec $u_1=1$ convergent vers $l \notin \mathbb{Q}$ . On peut supposer en plus que deux valeurs successives de $u_n$ sont distinctes , on définit alors $f$ par :
$f(0)=l$
$f(\frac{1}{n})=u_n$
$f$ affine sur $[\frac{1}{n+1};\frac{1}{n}$ ]
$f(x)=x$ si $x \geq$ 1
$f(-x)=f(x)$ .

Il n'y a pas de problème en zéro et f vérifie les conditions .

Imod

Posted by: yos

Oui d'accord, on peut supoposer $u_n$ strictement croissante par exemple. Un pallier horizontal dans la fonction f étant à exclure.
Le problème que je soulève en 0 est le fait que sur tout intervalle contenant 0, la courbe est formée d'une infinité de segments, dont aucun n'a pour extrémité le point d'abscisse 0. La continuité est donc à établir à la main. Je reconnais que ça ne mérite pas une suite de fonctions.

Posted by: Imod

Je comprends tes réticences yos , mais $f(\frac{1}{n})=u_n$ n'entraîne-t-il pas naturellement la limite en zéro ? Il est vrai que l'on touche ici à l'infini et que deux précautions valent mieux qu'une . La continuité m'avait semblé naturelle mais du coup je m'interroge .

Imod

Posted by: yos

C'est assez clair en effet. L'argument f(1/n) tend vers L donc f(x) tend vers L est utilisable si tu sais qu'il y a une limite. Et la monotonie est une condition suffisante.
Sinon, il faudrait
"pour toute suite $x_n$ de limite 0, $f(x_n)$ tend vers L"
mais ça tu le sais.

Posted by: Imod

En fait yos , la continuité ne dépend pas de la suite $u_n$ mais seulement de la façon dont on a défini la fonction entre $\frac{1}{n+1}$ et $\frac{1}{n}$ . Je n'avais pas fait les calculs et en fin de compte , ce n'est pas si évident que cela . La fonction $f$ est définie sur $[\frac{1}{n+1};\frac{1}{n}]$ par $f(x)=n[(n+1)x-1](u_n-u_{n+1})+u_{n+1}$ . Mais pour $x \in [\frac{1}{n+1};\frac{1}{n}]$ : $0 \leq n[(n+1)x-1]\leq 1$ . Alors $|f(x)-l|\leq|u_n-u_{n+1}|+|u_{n+1}-l|$ et $f$ est continue en 0 .

Imod