Mathématiques - Defi 14

Defi 14
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: BQss

Salut les gars, j'ai un petit probleme sympa qui melange differentes specialités mathematiques a vous poser, je le trouve sympa et puis il y a rarement des questions sur la theorie de la mesure/proba.

Soit $x \in \R^p$ un vecteur aleatoire de la forme :

$x=(1,X,...,X^{p-1})$ avec X une variable aleatoire.

Montrer que la matrice $E(xx^{T})$ est strictement positive si la loi de $X$ admet une densité par rapport a la mesure de Lebesgue sur $\R$ .

Bonne chance.

*Edit: avec l'autorisation de Tize c'est donc le Defi 14

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par BQss

Soit $x \in \R^p$ un vecteur aleatoire de la forme :

$x=(1,X,...,X^{p-1})$ avec X une variable aleatoire.

Montrer que la matrice $E(xx^{T})$ est strictement positive si la loi de $X$ admet une densité par rapport a la mesure de Lebesgue sur $\R$ .

je ne sais pas
ni une densité par rapport une mesure
ni la mesure de Lebesgue
ni matrice stirctement positive
ni la densité d'une loi

stp, poste un sujet qu'un eleve -qui as passé le 1er semestre en MPSI- peus le comprendre.

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par BQss

j'ai un petit probleme sympa ... je le trouve sympa et puis il y a rarement des questions sur la theorie de la mesure/proba.

ça ne t'as pas trop suffit ceci ? laisse lui se réguir un peu

Posted by: Imod

Pour appuyer ce que dit aviateurpilot , il est vrai que le cadre des défis précédents se situaient autant pour l'énoncé que pour la réponse à un niveau au plus L1 , L2 . Le temps que je me remette en tête toutes les notions évoquées par ce problème , j'espère qu'il sera résolu depuis longtemps

( j'ai arrêté mes études il y a plus de 25 ans ) .

Bon courage quand même pour les autres .

Imod

Posted by: BQss

Citation:

Posté par aviateurpilot

1) une densité par rapport a une mesure m, ca veut dire en gros si quand la mesure l d'un ensemble vaut 0 implique que la mesure m du meme ensemble vaut aussi 0, pour tout ensemble possible, tu peux exprimer la mesure m des objets de cet ensemble par une densité par rapport a cette mesure l.
Par exemple la mesure de masse ca admet une densité par rapport a la mesure de volume et tu peux calculer la masse grace a une integrale de la densité sur un volume donnée:

$\int fdv$ avec
$f=dm/dv$

2)La mesure de Lebesgue c'est la mesure de distance si tu veux, donc une densité par rapport a la mesure de Lebesgues c'est une probabilité que tu peux exprimer grace a une densité par rapport a la mesure de distance, tout comme comme en chimie quand tu calcules les spins tu exprimes la probabilité en fonction d'une densité.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Mesure_de_Lebesgue

La mesure de Lebesgues interprete ca donc comme une distance.

3)On parle de matrice definie positive pour des matrice symetrique $A=A^{t}$ dans ce cas la on a:
Une Matrice est strictement positive si
x different de 0 <--> $x^{t}At>0$ et
$x^{t}At=0$ <--> $x=0$ .
Exemple le produit scalaire est definie positif:
$<x|x> >0$ si x different de 0 et $<x|x>=0$ ssi $x=0$
http://fr.wikipedia.org/wiki/Matric...9finie_positive

4)La densité d'une loi, c'est au programme de terminale S.
Ca concerne les probabilités qu'on exprime grace a une densité, donc qui ont une loi continue. la loi d'une probabilité tu sais ce que c'est, et bien la densité d'une loi c'est ce qui caracterise la probabilité mais dans le cas continue.
Exemple la loi de Gauss par opposition au loi discrete comme la loi binomiale.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Densit...robabilit%C3%A9

Dans le cas continue on a:
$P(A)= \int_A f(x)dx$ avec f la densité de la loi de la probabilité P

Posted by: aviateurpilot

ok, je vous laisse,
bon chance avec ce défi,
rendez-vous dans le 15eme défi

Posted by: BQss

Et je rajoute que E(g(x)) ca veut dire l'esperance mathematique de g(x):
$E(g(x))=\int g(x)f(x)dx= \int g(x)dP$ avec f(x) une densité de probabilité de la loi P et on a $dP=fdx$ . tout comme on a $dm=fdv$ pour une masse dm en fonction d'un volume infinitesimale dv et d'une densité f.
Pareille pour la pression par rapport a la force si vous voulez:
dF=pdV

Posted by: BQss

Un indice:
raisonnez par l'absurde.

Posted by: Imod

Un beau petit programme de révisions que tu proposes là

, je vais essayer de m'y mettre ( prière de ne pas m'attendre ) .

Imod

Posted by: mathelot

$x^{T}$ , qu'est-ce ? la transposée du vecteur x ?

Posted by: tize

Citation:

Posté par BQss

3)Une Matrice est strictement positive si
x different de 0 <--> $x^{t}At>0$ et
$x^{t}At=0$ <--> $x=0$ .
......

C'est bien $x^tAx>0$ non ?

Posted by: yos

Citation:

Posté par mathelot

$x^{T}$ , qu'est-ce ? la transposée du vecteur x ?

C'est la nouvelle notation. Et donc faut prendre x vecteur colonne.

Posted by: BQss

Citation:

Posté par mathelot

$x^{T}$ , qu'est-ce ? la transposée du vecteur x ?

Oui $(x1,x2,...,xn)$

$x=(1,X,...,X^{p-1})$ = x

$x=(1,X,...,X^{p-1})^{t}$ = $x^{t}$

mais dans la pratique une fois que tu fais ton produit matriciel

$x=(1,X,...,X^{p-1})$ tu le mets en vecteur colonne alors que le $x^{t}$ c'est l'application lineaire correspondante de l'espace duale si tu veux, les coordonnées a l'horizontale comme si c'etait x.

Posted by: yos

Et l'espérance d'une matrice, c'est la matrice des espérances?

Posted by: BQss

Citation:

Posté par yos

Et l'espérance d'une matrice, c'est la matrice des espérances?

Oui c'est ca.

Posted by: tize

Juste une petite question, pour être sur d'avoir bien compris les notations,
$xx^T = $X^{i+j-2}$_{1\leq i,j\leq n}$ c'est bien ça ?

Posted by: BQss

On a :
$xx^{t}=(1,X,...X^{p-1}) (1,X,...X^{p-1})^{t}$ qui est une matrice p x p, de coefficient:

$\begin{pmatrix}1&X&X^{2}&...&X^{p-1}\\ X&X^{2}&X^{3}&...&X^{p}\\ .&.&.&.&.\\ .&.&.&.&.\\ .&.&.&.&.\\ .&.&.&.&.\\ X^{p-1}&...&...&...&X^{2p-2}\\ \end{pmatrix}$

x est un vecteur colonne, $x^{t}$ un vecteur ligne ou application lineaire.
Mais on a pas besoin d'exprimer la matrice de cette maniere normalement, ca se simplifie quand on utilise la propriété a verifier quand a sa positivité.

Posted by: tize

Ok, merci d'avoir confirmé, c'est bien ce que je pensais...je vais me pencher sur la question...

Posted by: BQss

Je precise juste que l'esperance est lineaire:
donc qu'on a:
$v^{T} E(A) v=E(v^{T}Av)$
pour un quelquonque vecteur $v=(v1,...vp) \in R^{p}$ non aleatoire.
Ce qui revient a dire que c'est une constante dans l'integrale et qu'il ne depend pas de l'espace des evenements, d'ou la linéarité.

$E(X)v=$
$\begin{pmatrix}1&E(X)&E(X^{2})&...&X^{p-1}\\ E(X)&E(X^{2})&E(X^{3})&...&E(X^{p})\\ .&.&.&.&.\\ .&.&.&.&.\\ .&.&.&.&.\\ .&.&.&.&.\\ E(X^{p-1})&...&...&...&E(X^{2p-2})\\ \end{pmatrix} \times v = \begin{pmatrix}v_1+E(X)v_2+...+E(X^{p-1})v_p\\ E(X)v_1+E(X^{2})v_2+...+E(X^{p})v_p\\ .\\ .\\ .\\ .\\ E(X^{p-1})v_1+...+E(X^{2p-2})v_p\\ \end{pmatrix}$

$ = \begin{pmatrix}v_1+E(v_2X)+...+E(v_pX^{p-1})\\ E(v_1X)+E(v_2X^{2})+...+E(v_pX^{p})\\ .\\ .\\ .\\ .\\ E(v_1X^{p-1})+...+E(X^{2p-2}v_p)\\ \end{pmatrix}$ $= E(Xv)$

car evidemment $E(v_ig(x))= \int v_ig(x)f(x)dx=v_i \int g(x)f(x)dx=v_iE(g(x))$ si v_i est une constante(une valeure deterministe).

Posted by: tize

$M=E(xx^t)=$E(X^{i+j-2})$_{1\leq i,j\leq n}=E_{i,j}$ avec $E$X^{i+j-2}$=\int t^{i+j-2}f(t)dt$ f est la densité associée à X ( $f\geq 0$ et $\int fd=1$ ).
Soit x un vecteur alors :
$xMx^t=\sum_{i}\sum_{j}E_{i,j}x_ix_j = \int \sum_{i}\sum_{j}t^{i+j-2}x_ix_jf(t)dt = \int$\sum_i t^{i-1}x_i$$\sum_j t^{j-1}x_j$f(t)dt = \int$\sum_i t^{i-1}x_i$^2f(t)dt\geq 0$

Posted by: yos

$^tYE(x^tx)Y=^tYE(x)^t[^tYE(x)]\geq 0$ , mais le fait que la matrice soit définie me semble pas clair.

C'est faux! j'ai écrit E(xy)=E(x)E(y)!!!!

Posted by: BiZi

Citation:

Posté par tize

$M=E(xx^t)=$E(X^{i+j-2})$_{1\leq i,j\leq n}=E_{i,j}$ avec $E$X^{i+j-2}$=\int t^{i+j-2}f(t)dt$ f est la densité associée à X ( $f\geq 0$ et $\int fd=1$ ).
Soit x un vecteur alors :
$xMx^t=\sum_{i}\sum_{j}E_{i,j}x_ix_j = \int \sum_{i}\sum_{j}t^{i+j-2}x_ix_jf(t)dt = \int$\sum_i t^{i-1}x_i$$\sum_j t^{j-1}x_j$f(t)dt = \int$\sum_i t^{i-1}x_i$^2f(t)dt\geq 0$

Ca me semble exact

Posted by: tize

Avec ce que j'ai ecrit :
$\int$\sum_i t^{i-1}x_i$^2f(t)dt=0$ implique $(\sum_i t^{i-1}x_i\)f(t)=0$ persque partout (pour la mesure de Lebesgue) et $(\sum_i t^{i-1}x_i\)=0$ partout donc $x_i=0$ pour tout i ...

Pour BQss, on fait comment par l'absurde ?

Posted by: BQss

Citation:

Posté par tize

C'est strictement positif Tize qu'il faut montrer.

Mais c'est bien tu as montré que toute matrice de covariance i.e $E(xx^{t})$ etait positive. Ce qui est essentiel pour la methode de la demo.

avec cauchy Schwartz ca s emontre plus vite encore parce que les produit des termes diagonaux(des normes au carrés) sont superieur aux produit scalaire au carré.

Posted by: tize

Citation:

Posté par BQss

C'est strictement positif Tize qu'il faut montrer.

Mais c'est bien tu as montré que toute matrice de covariance i.e $E(xx^{t})$ etait positive. Ce qui est essentiel pour la methode de la demo.

ça y est j'ai fini la démo dans mon dernier post, en montrant que si c'est nul alors x=0...

Posted by: BQss

Citation:

Posté par tize

Avec ce que j'ai ecrit :
$\int$\sum_i t^{i-1}x_i$^2f(t)dt=0$ implique $(\sum_i t^{i-1}x_i\)f(t)=0$ persque partout (pour la mesure de Lebesgue) et $(\sum_i t^{i-1}x_i\)=0$ partout donc $x_i=0$ pour tout i ...

Pour BQss, on fait comment par l'absurde ?

C'est pas xi qui doit etre egal a 0 mais ti pour que ce soit definie posif.
C'est ti ton vecteur, mais c'est presque ca.

Posted by: tize

Citation:

Posté par BQss

C'est pas xi qui doit etre egal a 0 mais ti pour que ce soit definie posif.
C'est ti ton vecteur, mais c'est presque ca.

A non, non, c'est bien x_i les coordonnées de mon vecteur, il n'y a pas de ti mais juste $t^i$ ou t est la variable d'intégration.
Une matrice symétrique M est définie si pour un vecteur x : x^tMx=0 => x=0

Posted by: BQss

Citation:

Posté par tize

A non, non, c'est bien x_i les coordonnées de mon vecteur, il n'y a pas de ti mais juste $t^i$ ou t est la variable d'intégration

Tu dis:
Soit x un vecteur alors :
$xMx^t=\sum_{i}\sum_{j}E_{i,j}x_ix_j$
Ou est ce que tu prouves que t doit etre nulle?
Tu conclus que x est nul dans ce que je vois. Alors que X n'est pas nulle c'est la variable aleatoire.

Oula pardon j'ai vu un t lol.
Attend je regarde la et je te dis apres pour l'absurde.

Posted by: BQss

Il y a un probleme dans ta demo, l'esperance n'est pas forcement positive, l'integrale de fdx avec f la densité oui mais pas l'esperance . Tu ne peux pas inverser la somme et l'integrale ou supposer qu'elle est positive.

Mais je regarde plus la attend, dis moi si tu vois ce que je dis.

edit: Ok c'est bon pour la somme je regarde la suite.

Posted by: BQss

Citation:

Posté par tize

Ok c'est bon mais est ce que tu peux reformuler stp un peu( par rapport a la nature de f...), parce qu'il y a un petit detail.
Mais c'est super bien, bravo.

Posted by: BQss

Citation:

Posté par tize

Je rajoute juste sur la fin:
Supposons:
$\int$\sum_i t^{i-1}x_i$^2f(t)dt=0$ .
Comme f est une densité de probabilité l'ensemble $\{ E={x \in \R : f(x)>0\}$ est de mesure non nulle.

donc de part la positivité des fonctions sous l'integrale $\sum_i t^{i-1}x_i=0$ presque partout sur E.
Mais comme E est de mesure non nulle alors le polynome s'annule en une infinité de point, donc c'est le polynome nul. On en deduit que les coefficient xi vallent 0 et donc que la matrice est def pos.

Si non pour le reste c'est exactement ca.

Bravo Tize a toi de poser un defi(c'est naturellement que tu recuperes la main ;) ...).

Pour la demo par l'absurde c'est en fait comme tu as fait, seuleument que je suppose que l'integrale est nulle pour un vecteur non nulle. En supposant ca j'aboutis a ce que le vecteur est forcement nulle donc contradiction, ce qui revient au meme que de supposer que l'integrale est nulle et de montrer que alors necessairement le vecteur est nul. Mais je le demontre grace au meme theoreme, c'est identique en fait.

En tout cas bien joué Tize.

Je poste une demo complete en condensé

Donc voila:

$E(xx{t})$ est positive car:
$v{t}E(xx{t})v=E(v^{t}xx^{t}v)=E[(x^{t}v)^{t}(x^{t}v)^{t})=E((x^{t}v)^{t})^2)\>= 0$

de plus:
( comme X admet une densité par rapport a la mesure de Lebesgue on ecrit desormais dP=f(x)dx)
Si:
$E((x^{t}v)^{t})^2)=E[ ( (\sum_i (X^{i}v_i))^{2}]= \int (\sum_i X^{i}v_i\)^{2} f(x) dx = 0$

alors comme f est une densité de probabilité et donc que l'ensemble $\{ E={x \in \R : f(x)>0\}$ est de mesure non nulle.

etc etc alors le polynome est nul est les vi sont nuls, donc la matrice est definie positive. C'est la fin avec ce qu'il y a au dessus

Posted by: Imod

Je sais que le nouveau défi revient à tize , mais j'ai un exercice très intéressant à proposer , puis-je prendre sa place ?

Imod

Posted by: BQss

Citation:

Posté par Imod

Je sais que le nouveau défi revient à tize , mais j'ai un exercice très intéressant à proposer , puis-je prendre sa place ?

Imod

mdr.

Il a bien merité pourtant la :D

.

Bravo encore Tize.

Posted by: tize

Citation:

Posté par Imod

Je sais que le nouveau défi revient à tize , mais j'ai un exercice très intéressant à proposer , puis-je prendre sa place ?

Imod

vas-y Imod

de toute façon j'ai rien de palpitant à proposer, ouvres un post défi 15 !

P.S. Merci BQss pour la démo par l'absurde, je regarde ça...

Posted by: BQss

Citation:

Posté par tize

vas-y Imod

de toute façon j'ai rien de palpitant à proposer, ouvres un post défi 15 !

P.S. Merci BQss pour la démo par l'absurde, je regarde ça...

La demo par l'absurde n'en ai pas vrament une... J'ia fait pareille que toi.
Juste que j'ai supposé que le vecteur etait non nulle en supposant en meme temps que l'integrale etait nulle au cours du devellopement, et je vois qu'en fait cette integrale nulle implique (comme tu l'as demontré) que le vecteur est nul, ce qui est en contradiuction avec mon hypothese.
Toi tu dis directement, l'integrale =0 implique que le vecteur est nulle donc sous entendu evidemment il n'existe pas de vecteurs non nul d'integrale nulle auquel cas il serait nul d'apres ce qu'on vient de montrer donc c'est ca l'absurdité. Tu n'as meme pas eu a le dire mais c'est implicite quoi. Cette une demo par l'absurde dans le sens ou tu montres le resultat par 'implication reciproque qui rend impossible l'hypothese.
Bien joué en tout cas, une fois qu'on utilisait bien les notions, en se laissant guider par les definitions on y arrive .

Posted by: Imod

Je plaisantais bien sûr , tize , a remporté les deux derniers défis haut la main et j'ai bien du mal à croire qu'il n'a rien d'intéressant à proposer ( même si chercher est sans doute bien plus passionnant !!! ) .

A bientôt pour un défi 15 .

Imod

Posted by: aviateurpilot

ou es le 15-eme défi?