Mathématiques - Défi 12

Défi 12
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Posted by: Imod

Montrer que tout nombre réel peut s'écrire comme une somme d'au plus neuf nombres dont l'écriture décimale ne comporte que des 0 et des 7 .

Bon courage !

Imod

Posted by: BancH

Car 7n peut être congru à 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ou 9 modulo 10? (comme 1n)

Posted by: Imod

Grosso modo c'est ça , pourrais-tu détailler un peu plus ?

Imod

Posted by: BancH

J'ai fait à l'instinct.
Je me suis juste dit que avec des 0 et des 1 c'est possible, après j'ai cherché le point commun entre 1 et 7, c'est pourquoi j'ai écris "(comme 1n)".
Mais je vais essayer de développer.

Posted by: BancH

Je vois pas trop comment expliquer, mais je fais de mon mieux.

Supposons qu'un nombre ait $n$ chiffres après la virgule, le $n$ -ième chiffre est $a$ , alors il est possible de créer un nombre ayant le même $n$ -ième chiffre (et un $(n-1)$ -ième chiffre), en additionnant $k$ fois $0,000...007$ , avec $k$ dépendant de $a$ et ainsi de la congruence de $7$ .

Notons $p$ le $(n-1)$ -ième chiffre ainsi créé, et $b$ le $(n-1)$ -ième chiffre après la virgule du nombre donné.
Pour avoir $p=b$ , il faut addtionner $k'$ fois le nombre $0.000...070$ , $k'$ dépendant de $p$ et de $b$ .

....

Ainsi tout réel est de la forme $X,n_1n_2n_3...n_m$ avec $n_i=7k_i$ , $k_i \in \ 0,1,2,...,9 {\}$

Posted by: Imod

Essaie plutôt de regarder la décomposition base 10 de x/7 ou x est le réel dont on cherche la décomposition .

Imod

Posted by: aviateurpilot

soit $x\in R$
on peux ecrire $x$ sous la forme $x=\bigsum_{k\in \mathbb{Z}}a_k 10^{k}$ avec $\forall k\in \mathbb{Z}$ ; $0\le a_k\le 9$
soit $1\le h\le 9$ ,et $E_h=\{k / a_k\ge h\}$
on pose $A_h=\bigsum_{k\in E_h}10^k$ tel que $A_h=0$ si $E_h$ est vide
et on remarque que l'écriture décimale de $A_h$ ne comporte que des 0 et des 1.
et on a $x=A_1+A_2+A_3+A_4+A_5+A_6+A_7+A_8+A_9$

Citation:

conclusion:
tout nombre réel peut s'écrire comme une somme d'au plus neuf nombres dont l'écriture décimale ne comporte que des 0 et des 1

generalisation:_________________________

soit $x\in \mathbb{R}$ et soit $m\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
$y=\frac{x}{m}$ peut s'écrire comme une somme d'au plus neuf nombres dont l'écriture décimale ne comporte que des 0 et des 1
donc $x=my$ peut s'écrire comme une somme d'au plus neuf nombres dont l'écriture décimale ne comporte que des $0$ et des $m$ .

Posted by: Joker62

Vous êtes des dingues lol :D

Posted by: Imod

Même si les $b_k$ ont été un peu oubliés au passage , on peut considérer qu'aviateurpilot a répondu correctement , dommage pour BancH

( à charge de revanche ) , je lui passe donc le relai .

Imod

Posted by: BancH

Arf, moi j'ai toujours du mal à comprendre ce que tu fais Aviateurpilot...

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par BancH

Arf, moi j'ai toujours du mal à comprendre ce que tu fais Aviateurpilot...

dsl Banch,
peux etre que tu peux comprendre ce que j'ai fait par ce exemple
si x=13.14217
$A_1=11.11111$
$A_2=01.01101$
$A_3=01.01001$
$A_4=00.01001$
$A_5=00.00001$
$A_6=00.00001$
$A_7=00.00001$
$A_8=00.00000$
$A_9=00.00000$

Posted by: BancH

Ouais ça c'est bon mais peux-tu traduire ça en Français?

Citation:

Posté par aviateurpilot

$E_h=\{k / a_k\ge h\}$

Posted by: Imod

L'idée est en effet de donner l'écriture décimale de x/7 ( ou x/k avec k < 10 , si on veut généraliser ) comme une somme de nombres dont l'écriture décimale ne comporte que des zéro et des uns puis de remarquer que cette écriture peut très bien se réduire en une somme de neuf nombres . En multipliant par 7 on a la réponse .

Imod

Posted by: BancH

Nan ça va j'ai pigé, c'était parce que je pensais que nombre devait être un réel avec une écriture décimale finie.

Posted by: Flodelarab

Je comprends avec les 0 et les 1 mais je comprends pas ou arrive le 7.

x/7 ne pourrait il pas etre infini ? auquel cas le nombre ne peut pas s'écrire comme on veut?

Posted by: BancH

Ouais c'est ça qui bloque.

Est-ce qu'on peut dire que 1.111...111=2x0.555...555 ?

Posted by: Imod

Si x/7 peut s'écrire comme une somme de neuf nombres dont l'écriture décimale ne comporte que des zéro et des un , 7x doit pouvoir s'écrire comme une somme de neuf nombres dont l'écriture décimale ne comporte que des zéro et des sept ? Non ?

Imod

Posted by: BancH

Oui mais avec les formes décimales infinies c'est galère.

Posted by: Flodelarab

Ben 1 par exemple.
Comment ecris tu 1 avec ta somme de 9 nombres avec des 0 et des 7 ?

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par BancH

Ouais c'est ça qui bloque.

Est-ce qu'on peut dire que 1.111...111=2x0.555...555 ?

oui, 1.111111....111/2=(1/2)+(0.1/2)+(0.01/2)+...+(0.000..001/2)+......=0.55555555.......555.

pour le $E_h$ que j'ai construit c'est le $k$ tel que $a_k\ge h$
c'est comme si j'ai remplacé ces $a_k$ par des $1$ dans le $A_h$
pour $x=159.745$ par exemple
on a $a_2=1,a_1=5,a_0=9,a_{-1}=7,a_{-2}=4,a_{-3}=5$
pour $E_5=$ {1,0,-1,-3} et $A_5=011,101$
159.745 $=x$
011,101 $=A_5$
c'est comme si j'ai remplacé $a_1,a_{0},a_{-1},a_{-3}$ par des $1$ dans le $A_5$

Posted by: Imod

Citation:

Posté par BancH

Oui mais avec les formes décimales infinies c'est galère.

Tu n'es qu'en 1ère , pour commencer à comprendre un peu l'infini , il te faudra attendre encore trois ou quatre ans ...

Imod

Posted by: BancH

0.777777777777...7
0.077777777777...7
0.070777077777...7
0.070777077777...7
0.000777077777...7
0.000707077777...7
0.000707077777...7
0.000700077777...7
0.000000077777...7

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par Flodelarab

Ben 1 par exemple.
Comment ecris tu 1 avec ta somme de 9 nombres avec des 0 et des 7 ?

1/7=0.142857142857....

0.142857142857....=
0.111111111111....+
0.011111011111....+
0.010111010111....+
0.010111010111....+
0.000111000111....+
0.000101000101....+
0.000101000101....+
0.000100000100....+

tu vois que au desous de 8 ils y 8 chiffres 1 et au desous de 4 ils y 4 chiffres 1.........
apres en multiplie par 7 et on trouve
1=
0.777777777777....+
0.077777077777....+
0.070777070777....+
0.070777070777....+
0.000777000777....+
0.000707000707....+
0.000707000707....+
0.000700000700....+

Posted by: BancH

Citation:

Posté par Imod

Tu n'es qu'en 1ère , pour commencer à comprendre un peu l'infini , il te faudra attendre encore trois ou quatre ans ...

Imod

Parce que c'est compréhensible l'infini? Je croyais que c'était purement une invention humaine. Y a de l'infini dans la nature?

Posted by: BancH

Citation:

Posté par aviateurpilot

1=
0.777777777777....+
0.077777077777....+
0.070777070777....+
0.070777070777....+
0.000777000777....+
0.000707000707....+
0.000707000707....+
0.000700000700....+

C'est toi qui à raison, moi ça foire à un endroit j'ai oublié une retenue.

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par BancH

Parce que c'est compréhensible l'infini? Je croyais que c'était purement une invention humaine. Y a de l'infini dans la nature?

ça dépend dans quel sens tu parles, en physique je crois que ça n'a pas de sens, (c'est mon prof de sup qui m'avais dis ça) il m'a dis en plus on ne peut dépasser en physique 10^89
Donc J'ai plutot tendance a dire que c'est une invention humaine, mais ca touche pas a ce que Imod t'as dis.
Voila.

Posted by: BancH

C'est byzarre ton 10^89, il t'a pas expliqué d'où ça vient ton prof?

En tout cas sur Google y a rien.

Posted by: sandrine_guillerme

Il m'avait expliqué mais bon ce fut une discussion élliptique, voire très, en tout cas si tu es patient, d'ici demain, je demande à quelqu'un qui s'y connait..

Posted by: allomomo

Salut,

Ca c'est ce que son prof a dit, peut-être que ton prof dirait autre chose comme 10^89+1 lol

Posted by: sandrine_guillerme

BancH, En attendant, je t'invite à visiter ce lien

Bonne nuit

Posted by: Dominique Lefebvre

Bonjour,

Très intéressant ton site, Sandrine! Il est vrai qu'en physique, l'infini heurte le sens commun...

Je soumets à votre réflexion le fait suivant:

Plaçons nous dans le domaine de la mécanique classique (on parlera plus tard de la mécanique relativiste et quantique).

Cette mécanique énonce des lois qui modélisent le comportement de tous les systèmes physiques. Elle énonce aussi des caractéristiques fondamentales de l'espace dans lequel évoluent ces systèmes.

Une des caractéristiques fondamentale de cet espace, c'est qu'il est homogène et isotrope, c'est à dire que n'importe quel point ne peut être distingué d'un autre, que je peux choisir un référentiel n'importe où dans l'espace et que quelque soit la direction de l'espace que je choisisse, je peux y développer ma physique dans les mêmes conditions.

Vous avez reconnu l'espace euclidien : continue, connexe, homogène et isotrope.

Pour faire de la mécanique, on l'a doté d'une variable implicite, le temps, qui est homogène (on peut choisir un temps initial n'importe quand, il n'y a pas de borne) mais pas isotrope!

Dans cet espace, la physique doit être considérée comma appliquée à un domaine infini! La mécanique newtonienne et lagrangienne sont des mécaniques qui impliquent l'infini!

Et c'est bien là que le bas a coincé! Lorsque Minkowski a introduit son espace-temps à géométrie non euclidienne, on s'est apperçu que l'espace mathématique utilisé pouvait ne plus être infini, ce qui a ouvert la boite de Pandore..

Il reste aussi à discuter de la réalité physique: un point (en classique) ou un évènement (en relativiste) ont une dimension nulle: est-ce concevable physiquement. Il y a-t-il une limite inférieure (la limite de Plank, par exemple) au delà de laquelle notre physique n'aurait plus de sens?

Enfin une remarque sur les grands nombres en physique. 10^89 n'est pas, et de loin le plus grand nombre qu'on rencontre en physique!
Par exemple, le nombre de bits d'information contenu dans l'univers visible est estimé à 10^120 (on l'appelle googol et oui, il a un rapport avec Google...)
Plus encore, si l'on considère un trou noir de la taille de notre groupe local (c'est grand!), son entropie d'après Hawking serait d'environ 10^120 et le nombre de ses états microscopiques à prendre en compte pour le reproduire serait de 10^10^100 (on appelle ce nombre un googleplex...)

Bref, en physique, on sait manipuler des grands nombres, mais on se méfie de l'infini (cette saloperie qui fait diverger nos belles intégrales!)

Posted by: Flodelarab

Sans vouloir te contredire sur le fond, un googol est un nombre avec 100 zéros... soit $1,0.10^{100}$ ou 10000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0

Posted by: tize

Pour de plus ample information ici

Posted by: bauzau

Citation:

Posté par tize

Pour de plus ample information ici

lol tu as lu l'article que tu as mis en lien? ou c'était juste une blague?

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

il m'a dis en plus on ne peut dépasser en physique 10^89
Donc J'ai plutot tendance a dire que c'est une invention humaine

je ne compren pas pourquoi ton prof t'as dis ca, car sans contexte et sans unité, 10^89 ne veut rien dire!

sinon, l'infini n'est pas une invention, ni ne veut rien dire; l'infini est juste difficile a manipuler

Posted by: tize

Citation:

Posté par bauzau

lol tu as lu l'article que tu as mis en lien? ou c'était juste une blague?

Bon d'accord...

lien

Citation:

Posté par bauzau

sinon, l'infini n'est pas une invention, ni ne veut rien dire; l'infini est juste difficile a manipuler

La Classe !

Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:

Posté par Flodelarab

Sans vouloir te contredire sur le fond, un googol est un nombre avec 100 zéros... soit $1,0.10^{100}$ ou 10000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0

très juste, autant pour moi...

Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:

Posté par bauzau

sinon, l'infini n'est pas une invention, ni ne veut rien dire; l'infini est juste difficile a manipuler

Voilà une assertion intéressante! A part l'argument d'autorité, qu'est-ce qui te permet de dire que l'infini n'est pas une invention?

Pour les deux autres assertions: l'infini est signifiant et l'infini est difficile à manipuler: pas de problème nous sommes d'accord.

Il reste que le débat porte sur la signification de l'infinie en physique, et pas sur son existence ou sa manipulation en mathématique.

Il existe de nombreux ouvrages sur le thème de l'infinie grand ou petit en physique. A ma connaissance, personne n'a encore tranché.

On ramène souvent le pb de l'infiniment grand à la finitude de l'univers. Mais même si l'univers était fini, je suis ne pas sur que cela close le débat de l'infinitude physique.

De même pour l'infiniment petit. Il est à noter que d'après les modèles mathématiques que l'on manipule en physique classique et même quantique, l'espace de travail est continue, c'est à dire qu'il est sécable à l'infinie! Cela ne semble pourtant pas très réaliste sur le plan physique.... Et pourtant c'est ce que disent nos mathématiques... Il en est de même pour le temps!

Qu'en pensez-vous?

Posted by: BancH

Je ne sais pas si c'est fait exprès, mais pour les maths tu écris "infini" et pour la physique "infinie".

Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:

Posté par BancH

Je ne sais pas si c'est fait exprès, mais pour les maths tu écris "infini" et pour la physique "infinie".

j'ai toujour pensé que la physique était un domaine féminin

Je n'avais pas remarqué! C'est un lapsus...