Mathématiques - Defi proba 2

Defi proba 2
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Posted by: BQss

salut , je lance un defi proba 2 en esperant qu'il soit plus populaire que le 1, ce sera pas difficile

.

On definit la suite croissante de tribu $(F_n)$ i.e $F_n \subset F_{n+1}$ et la suite de variables aleatoires $(X_n)$ où $\forall n$ $X_n$ est $F_n$ mesurable (on dit que $"X_n$ est un processus adapté à $(F_n)$ ").

Soit $T$ une variable aleatoire à valeur dans $N$ tel que $\{T=n\}$ soit $F_n$ mesurable $\forall n$ ou definition equivalente si $\{T \le n\}$ soit $F_n$ mesurable $\forall n$ (on dit que T est un temps d'arrêt).

On dit que $X_n$ est une martingale si $E(X_{n+1}/F_n)=X_n$ .

Les deux questions suivantes sont indépendantes:
1)Montrer que $H=T \wedge S=inf(T,S)$ est un temps d'arrêt si $T$ et $S$ sont des temps d'arrêts.
En déduire que $T \wedge n=inf(T,n)$ est un temps d'arrêts si $n \in N$ .
2)Montrer que $X_{T\wedge n}$ est une $F_n$ martingale si $X_n$ est une $F_n$ martingale.

Indication generale:
Noter que $\{X \in A\}=X^{-1}(A)$ si on est plus a l'aise avec la deuxième notation.

Indications pour resoudre la question 2:
Si $X$ est $F$ mesurable alors $E(X|F)=X$
Si $X$ est $F$ mesurable et $Y$ quelconque alors $E(XY|F)=X$ $E(Y|F)$ .
si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires $E(X+Y|F)=E(X|F)+E(Y|F)$

Aucune autre connaissance n'est necessaire pour resoudre ces questions, si ce n'est connaitre les propriétés des tribus et des fonctions mesurables. Il n'est pas necessaire de connaitre d'autre propriétés de l'esperance conditionnelle.
Les deux questions ne sont pas tres longues a resoudre, il s'agit d'avoir comme souvent les bonnes idées.

En dessous en surlignant: vous aurez un indice suplementaire pour le 1 et pour le 2.
Pensez a partitionner les ensembles pour le 1 et pour le 2 pensez a decomposer la fonction à l'aide de fonctions indicatrices d'ensemble.

Bonne chance!

N'hesitez pas à demander plus de precisions.

Posted by: nuage

Salut BQss, content de te revoir.
Mais ce défi est un peu trop théorique pour moi. Il faudrait que je me replonge dans mes cours (ou pire que je réfléchisse à la signification de l'énoncé) et j'ai la flemme. J'espère quand même que quelqu'un, même si c'est toi donneras la solution.

A+
nuage

Posted by: BQss

Merci de ton soutien nuage ;).
Je donnerai bientot un indice plus explicite pour initier la demo de ce qui voudront s'y essayer. Si le vif succes de mon probleme perdure ensuite, je donnerai la solution, disons dans une semaine.