Mathématiques - Defi proba 1

Defi proba 1
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Posted by: BQss

Salut les amis

Dans la serie des defis je lance la serie defis de
proba/calcul sto/theorie de la mesure/stat

On pourra lancer des defis qui depassent la licence mais on fera le/les rappels de cours clairs et precis necessaires qui pourront aider a la resolution du probleme ou de l'exo.(eventuellement même pour les exos Bac+1 jusqu'a la licence si necessaire, qu'on hesite pas a demander au "poseur du probleme")

J'en lance un plutot court et facile pour lancer le jeu.

Soit (Xt) une collection de variables aléatoires et l un réel

Montrer que :
$lim_{t \rightarrow \infty} (t^{-1}X_t)=l$ dans $L^2(P)$

est equivalent à :

$lim_{t \rightarrow \infty} (t^{-1}E(X_t))=l$ et $lim_{t \rightarrow \infty} (t^{-2}E(X_t^2))=l^2$

Posted by: yos

Chais pas si tu vas rencontrer un franc succès avec ça. Mais j'ai entendu parler d'un deuxième mec en France qui aime les probas/stats. Je le recherche.

Dire que j'avais choisi option proba à l'agreg! J'ai tout perdu. D'ailleurs cette option existe-t-elle encore?

Bon pour ton exo : on pourrait pas poser $Y_t=t^{-1} X_t$ pour simplifier les hypothèses? Après on pourrait lui appliquer Bienaymé-Tchebychev et bricoler les epsilons?

ça se trouve je suis à côté de la plaque.

Posted by: BQss

Merci Yos de contribuer a mon defi qui rencontre un vif succes jusqu'a present ;) .

La celebre inegalité ne sert pas ici en l'occurence.
Il faut en fait se laisser guider par les definitions.

Sachant que L^2(P) est l'espace des fonctions de carrés integrables pour la mesure de probabilité quelconque P fixée.

Il faut donc en fait verifier que si (1) converge dans $L^2(P)$
alors (2) converge dans R et reciproquement.

Il faut passer l'esperance sous forme integrale pour exploiter le fait que l'on est sur la meme mesure qu'au 1.

Des petites aides indices:

-Cauchy Schwarz risque de servir quelquepart
-le fait que la mesure de probabilité sur l'ensemble tout entier vaut 1 aussi

Traduire (1) et (2) sous forme integrale et je ne doute pas une seule seconde que tu y arrives.

N'hesite pas a demander plus de precisions!

Pour ce qui est des probas et stats, tu exageres ;) , on est quand même pas mal a aimer ca. Faut dire que je suis a P6 et c'est un peu l'endroit pour, on est entouré par le cnrs, normale, et nos labo notamment de chevaleret et le centre Pierre Louis lions qui constituent le plus grand labo de proba du monde.
Sans oublier le celebre DEA de maths finance d'Elkaroui, qui est la star mondiale en la matiere et qui assure a ses diplomés une belle carriere...

PS: l'option proba a l'agreg existe encore, et il y a meme du calcul sto maintenant et j'ai fait un anale ou il y avait un filtre de kalman, une sorte d'algo recursif pour estimer l'esperance a l'aide de l'esperance conditionnelle et d'une chaine de markov cachée.

Posted by: fahr451

Citation:

Posté par BQss

Il faut en fait se laisser guider

maintenant et j'ai fait un anale .

sans commentaire

que fait la modération?

Posted by: BQss

Citation:

Posté par fahr451

sans commentaire

que fait la modération?

oui rajoute un "n" ca fera moins mal

Et si non t'as une idée?

Posted by: BQss

Je vous rends la formule plus explicite pour vous mettre sur la voie.
Je vous traduis l'enoncée en fait.

pour P une mesure de masse totale 1

Montrer que

$lim_{t \rightarrow \infty} \int | (t^{-1}X_t(y)) -l |^2 dp(y) =0$
est equivalent à

$lim_{t \rightarrow \infty} t^{-1}\int(X_t)(y)dp(y)=l$ et $lim_{t \rightarrow \infty} t^{-2}\int X_t(y)^2 dp(y)=l^2$

Ne soyez pas repousser par les notations, voyez la chose comme X une fonction de y et de t, y c'est un element de l'espace aléatoire et t un réel, quand on integre sur dp , t est fixé... C'est une suite de variable aléatoire indexé par un réel rien d'autre. On integre sur une variable et on fait tendre l'autre vers l'infini, vous avez tous fait 10 fois plus mechant.

Allez les témeraires, on essaie aussi ce qu'on a pas l'habitude de faire ;).
Le pire c'est que si je vous donne la demo vous allez voir que c'est enfantin.