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Défi analytique
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Posted by: Imod

Un peu d'analyse pour changer ( divers sujets sur Cesaro m'y ont fait penser ) :

On se donne $f$ une fonction continue de [0;1] dans [0;1] et $x_0$ dans [0;1] . $(x_n)$ est définie par son premier terme $x_0$ et par la relation de récurrence : $\displaystyle{x_n=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)}$ .
Montrer que $(x_n)$ est convergente .

Bon courage !!!

Imod

Posted by: Flodelarab

En français, on pourrait dire que $x_n$ est la moyenne de toutes les images des termes précédents transformés par f.

Plus on avance et plus le poids du barycentre du sous système est fort. Donc plus le résultat se rapproche de celui-ci.
Donc la fonction converge.

Je ne sais si c'est très clairement exprimé

Une autre façon de voir est de dire que tout nouveau $x_n$ est entre $x_{n-1}$ et f( $x_{n-1}$ )
D'où la convergence.

J'ai évidemment exploité la continuité de la fonction dans les 2 cas.
Par contre, je n'ai pas utilisé la contrainte "entre 0 et 1" .... J'ai dû taper à côté.

Posted by: Rain'

Citation:

Posté par Flodelarab

J'ai évidemment exploité la continuité de la fonction dans les 2 cas.
Par contre, je n'ai pas utilisé la contrainte "entre 0 et 1" .... J'ai dû taper à côté.

Juste pour dire que c'est borné. Si f était continue d'un segment dans un segment ça serait pareil non ?

Posted by: Imod

Citation:

Posté par Flodelarab

Plus on avance et plus le poids du barycentre du sous système est fort. Donc plus le résultat se rapproche de celui-ci.
Donc la fonction converge.

C'est vrai mais à chaque étape le barycentre se déplace aussi , on a un point qui se rapproche de plus en plus d'un autre qui se déplace ?

Citation:

Posté par Flodelarab

Une autre façon de voir est de dire que tout nouveau $x_n$ est entre $x_{n-1}$ et f( $x_{n-1}$ )
D'où la convergence.

Pourquoi $x_n$ est entre $x_{n-1}$ et $f(x_{n-1})$ ?

Imod

Posted by: Flodelarab

Citation:

Posté par Imod

C'est vrai mais à chaque étape le barycentre se déplace aussi , on a un point qui se rapproche de plus en plus d'un autre qui se déplace ?

Il peut se déplacer.
Je ne cherche que la convergence.
(j'avoue que là, j'invoquerais le fait que la fonction soit bornée

)

Citation:

Posté par Imod

Pourquoi $x_n$ est entre $x_{n-1}$ et $f(x_{n-1})$ ?

Car les poids sont positifs.
Pour qu'un barycentre soit a l'extérieur, il faut un poids négatif.
Or, on ne fait qu'une moyenne arithmétique toute bête à poids positifs.

Posted by: Flodelarab

Oui d'accord.
f(xn-1) pourrait fuire vers l'infini plus vite que prévu.
Il faut que f soit borné.

Posted by: Imod

Je suis d'accord avec ton 2ème point : $x_n$ est bien entre $x_{n-1}$ et $f(x_{n-1})$ , mais la convergence me gène . On pourrait imaginer une suite dont les valeurs seraient alternativement de plus en plus proche de 0 et de 1 , il n'y aurait alors pas de limite ( deux valeurs d'adhérences ) . C'est peut-être contradictoire avec la continuité de $f$ mais il faudrait justifier !

Imod

Posted by: alben

Bonjour
On montre facilement que la suite reste à l'intérieur de [0,1]. Elle a au moins une valeur d'adhérence (compacité)
On a la relation $x_{n+1}=\frac{nx_n+f(x_n)}{n+1}$ d'où l'on tire $|x_{n+1}-x_n|=\frac{|f(x_n)-x_n|}{n+1}\leq \frac{2}{n+1}$
A partir de là, on peut y arriver par une méthode basique : valeurs d'adhérence, points fixes... mais c'est un peu lourdingue, plein de epsilon... et j'imagine qu'Imod va nous sortir un super truc

Posted by: Imod

Citation:

Posté par alben

A partir de là, on peut y arriver par une méthode basique : valeurs d'adhérence, points fixes... mais c'est un peu lourdingue, plein de epsilon... et j'imagine qu'Imod va nous sortir un super truc

Malheureusement non

j'ai une méthode , "un peu" lourde et l'analyse n'étant pas mon fort , j'attends impatiemment toute idée originale

Imod

Posted by: Flodelarab

Je considère le "déplacement" du barycentre.
Et je calcule la distance qu'il parcourt à chaque rang.

Au maximum, il se déplace de 0,5
pkoi ?
car si $x_0=0$ et que f(0)=1 alors le milieu sera en 0,5 (ou inversement pour 0 et 1 )

On a montré que ce déplacement tendait vers 0 : $x_{n+1} - x_n \le \frac{1}{n+1} \to 0$

Même si f prenait les valeurs les plus dérangeantes (0 ou 1), le barycentre se déplaçant de moins en moins, Il y a un rang a partir duquel la distance entre notre barycentre et la valeur de convergence sera forcément inférieure à une barrière (fixée a l'anvance, et aussi petite soit elle)

Donc $\exists b \in \mathbb{R} | \forall \epsilon \in \mathbb{R}^+, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, n>N => |x_n-b|<\epsilon$
C'est la convergence.

Vois tu un contre exemple ?

Posted by: Imod

Je ne suis pas sûr d'avoir saisi complètement ton argument mais tu me corrigeras au besoin : le barycentre suit un déplacement encadré par une borne qui tend vers zéro et évolue dans un intervalle borné donc converge .
On peut considérer un barycentre qui partirait de zéro vers 1 à l'allure $\frac{1}{n}$ en changeant de direction à chaque fois qu'il dépasserait une des extrémités de [0;1] . Penses-tu que la position de ce barycentre converge ?

Imod

Posted by: Flodelarab

Citation:

Posté par Imod

On peut considérer un barycentre qui partirait de zéro vers 1 à l'allure $\frac{1}{n}$

admettons.

Citation:

Posté par Imod

en changeant de direction à chaque fois

c'est le cas qui m'interesse

Citation:

Posté par Imod

qu'il dépasserait une des extrémités de [0;1]

Ben. On a dit plusieurs fois que c t impossible car f(x) est dans [0;1] et le nouveau barycentre est entre f(xn) et xn ... on ne peut pas sortir.

Citation:

Posté par Imod

. Penses-tu que la position de ce barycentre converge ?Imod

Oui!
Ce qui me dérange, c'est de ne pas pouvoir dire à l'avance vers koi ....
Mais il converge, c sur.
J'ai appelé b cette valeur.

Si f(x) pouvait sortir de l'intervalle, ce serait moins clair.
Mais là, le poids croit plus vite que l'image peut s'éloigner
Or pour que l'influence de f(x) reste et fasse diverger la suite par manque de limite, il faudrait qu'elle prenne des valeurs plus éloignées que les valeurs maxi 0 ou 1 (alternées ou non, du coup)

Posted by: Imod

Tu ne m'as pas lu attentivement

la suite change de sens quand elle ne peut pas faire autrement essaie avec les premières valeurs entières et dis moi ce que tu en penses

On n'oublie pas que la série harmonique est divergente !!!

Imod

Posted by: Flodelarab

Attention : La série harmonique diverge car elle tend vers l'infini !!!
La série harmonique alternée converge !
Le fait de rebrousser chemin fait perdre au barycentre tout l'avantage qu'essaie de donner f en le faisant fuire.
C'est comme le roi qui fuit aux echecs ... ya echec et mat a un moment car l'échiquier a un bord. Si l'échiquier etait une boule, la partie devrait etre déclarée nulle car pas de bords.

(Je rumine chacun de tes mots)

Posted by: Imod

La série dont je te parle n'est pas alternée :
$u_0=0$ ; $u_1=1$ ; $u_2=1-\frac{1}{2}$ ; $u_3=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ ; $u_4=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ ; $u_5=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$ ;
$u_6=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$ ; $u_7=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+ \frac{1}{7}$ ...

Imod

Posted by: Flodelarab

Je suis d'accord sur la non-alternance.
Cela rend mon raisonnement moins évident.

Je creuse mais je n'ai pas plus de résultats à donner.

J'imagine que la continuité doit stopper cette fuite effrénée. Car on ne peut pas passer impunément de 0 à 1 quand on veut mais pas facile de joindre les 2 bouts.

Posted by: alben

Citation:

Posté par Flodelarab

J'imagine que la continuité doit stopper cette fuite effrénée. Car on ne peut pas passer impunément de 0 à 1 quand on veut mais pas facile de joindre les 2 bouts.

Juste pour relancer le débat, si ta suite courre de a à b, elle est obligée de passer de l'un à l'autre de manière de plus en plus rapprochée car la différence de deux termes tend vers 0. Regarde la continuité de f(x)-x en un point entre a et b où elle ne s'annulerait pas

Posted by: Flodelarab

Citation:

Posté par alben

Ça, on le sait déjà.
Mais pkoi cette suite ne passerait elle pas entre les gouttes et n'arriverait pas à faire l'aller retour entre 0 et 1 de la meme façon que la suite harmonique diverge vers l'infini ?

d'ailleurs, "passer entre les gouttes" n'a pas de sens car il n'y a pas de valeurs interdites ni néfastes.

Posted by: Imod

Il faut jouer ici avec la notion de valeur d'adhérence . Comme la différence entre deux valeurs successives de la suite tend vers zéro , les valeurs d'adhérence forment un intervalle . Ce n'est qu'un début

Imod

Posted by: alben

Bonsoir,
On n'a pas besoin d'utiliser le fait que les VA forment un segment, il suffit, comme le dit Flodelarab de montrer que la continuité permet de créer une barrière entre deux VA, barrière qui devient un puits

Posted by: Imod

Citation:

Posté par alben

Bonsoir,
On n'a pas besoin d'utiliser le fait que les VA forment un segment, il suffit, comme le dit Flodelarab de montrer que la continuité permet de créer une barrière entre deux VA, barrière qui devient un puits

Là tu m'intéresses alben comment creuses-tu ton puits ?

Imod

Posted by: muse

On pourraiessayer par l'absurde non ?

A chaque fois que on demonter que une suite converageait c'était pas l'absurde.

Posted by: Rain'

Citation:

Posté par Imod

Là tu m'intéresses alben comment creuses-tu ton puits ?

Imod

Avec une pelle mais ça va peut être prendre un peu de temps.

Posted by: alben

Je t'ai répondu par message privé afin de permettre à ceux qui veulent chercher de le faire.
PS j'ai un peu cafouillé dans les messages privés

edit : @Rain' : tu peux rendre la pelle que tu as volé à ta petite soeur, c'est un puits sans fond et elle en a besoin pour ses pâtés de sable

Posted by: Imod

Je me permets de préciser un peu l'indication d'alben ( qu'il me réprimande s'il estime que j'ai outrepassé mes droits ) . La suite $(x_n)$ a au moins une valeur d'adhérence , si elle en avait deux ( comme ...

... je m'égare ) $a < b$ alors $f = Id$ sur $]a,b[$ et la suite est simple . Donc , pourquoi $f = Id$ sur $]a,b[$ ?

Imod

Posted by: alben

Il semble que ce defi n'ai plus de clients. Si c'est le cas, je me propose de poster la réponse envoyée par MP, mais en plus claire de manière à faciliter le travail de Joker, notre chroniqueur officiel

Posted by: Imod

Citation:

Posté par alben

Il semble que ce defi n'ai plus de clients. Si c'est le cas, je me propose de poster la réponse envoyée par MP, mais en plus claire de manière à faciliter le travail de Joker, notre chroniqueur officiel

Je crois en effet que tu peux donner ta solution

Imod

Posted by: Nightmare

Salut Imod:

Ca converge vers un truc du type $3$\rm \frac{\Bigint_{0}^{1} f(t)g(t)dt}{\Bigint_{0}^{1} f(t)dt}$ où f est une fonction dont l'ensemble des zéros est d'intérieur vide.

Non?

Posted by: alben

C'est quoi ta fonction g Nightmare ?

Citation:

Posté par Imod

On se donne $f$ une fonction continue de [0;1] dans [0;1] et $x_0$ dans [0;1] . $(x_n)$ est définie par son premier terme $x_0$ et par la relation de récurrence : $\displaystyle{x_n=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)}$ .
Montrer que $(x_n)$ est convergente .

Préambule : On vérifie facilement que la suite reste à l'intérieur de [0,1]. Elle a au moins une valeur d'adhérence (compacité)
la relation de définition de la suite peut s'écrire $x_{n+1}-x_n=\frac{f(x_n)-x_n}{n+1}$
D'où on tire deux observations

La suite $x_{n+1}-x_n$ est majorée par $\frac{2}{n+1}$ , elle tend vers 0
$f(x_n)\;et\;x_{n+1}$ sont du même coté de $x_n\; f(x_n)>x_n\Leftrightarrow x_{n+1}>x_n\;$
$f(x_n)<x_n\Leftrightarrow x_{n+1}<x_n\;et\; f(x_n)=x_n\Leftrightarrow x_{n+1}=x_n$

Raisonnement par l'absurde
La suite a au moins une valeur d'adhérence. Si elle n'en a qu'une, alors elle converge. On va donc supposer qu'elle en ait deux a et b avec a<b
L'idée est de montrer que tout point c de ]a,b[ est point fixe de f.
La barrière (en fait c'est plutôt une diode)
Pour cela on enchaine un deuxième raisonnement par l'absurde en supposant que f(c)<c. Comme f(x)-x est continue, il existe r_1>0 tel que $x\in ]c-r_1,c+r_1[\Rightarrow f(x)<x$
Posons $r=\min (r_1,\;\frac{c-a}{2},\;\frac{b-c}{2})$ et $m=Ent(\frac{2}{r})$
On vérifie que les intervalles Ia, Ib,Ic de rayon r centrés sur a,b et c sont disjoints
Puisque a est valeur d'adhérence, il existe un terme de la suite d'indice m' supérieur à m dans Ia et il devra en exister également un d'indice supérieur à m' dans Ic. Mais pour passer de l'un à l'autre, il faut que la suite franchisse Ic, de longueur 2r alors que l'écart entre deux termes ne dépasse pas r. Or c'est impossible puisque si $x_n\in Ic\; alors \; x_{n+1}<x_n$ , autrement dit la suite est renvoyée vers a. (Pour être rigoureux, il faudrait considérer le premier terme supérieur à c+r et montrer qu'il ne peut avoir d'antécédant).
Ainsi, comme a et b sont valeurs d'adhérence, on ne peut avoir f(c)<c.
On montrerait de même que l'on ne peut avoir f(c)>c, cela inverserait simplement le sens de passage de la diode.
Donc f(c)=c
Le puits
Le point c était quelconque, donc tous les points intérieurs à [a,b] sont des points fixes de f. La suite va donc nécessairement atteindre un de ces points puisqu'elle doit aller de a vers b et que son pas tend vers zéro.
Dès que l'un de ces points est atteint, la suite devient constante et a et b ne peuvent être valeurs d'adhérence.
Conclusion l'intérieur de [a,b] est vide et il n'y a qu'une seule valeur d'adhérence qui est donc une limite.

Posted by: Imod

Je ne vois pas ce que représente ta fonction $g$ ! Si $f$ a un unique point fixe $x$ alors $u_n$ converge vers $x$ , sinon ça dépend de $u_0$ .

Imod

Posted by: Nightmare

Pardon, c'était g qui était une fonction dont l'ensemble des zéros est à intérieur nul.

On montre facilement qu'il existe une unique subdivision de [0,1], $\rm x_{0}=0<x_{1}<...<x_{n}=1$ telle que :
$3$\rm \Bigint_{x_{i}-1}^{x_{i}} g(t)dt=\frac{1}{n}\Bigint_{0}^{1} f(t)dt$ pour tout i de [|1;n|]

On note $3$\rm G : x\to \Bigint_{0}^{x} g(t)dt$ et $3$\rm A=\Bigint_{0}^{1} g(t)dt$

f est continue sur [0;1].
On pose :
$3$\rm S_{n}=\frac{A}{n}\Bigsum_{i=1}^{n} f(x_{i})=\frac{A}{n}\Bigsum_{i=1}^{n} foG^{-1}$\frac{iA}{n}$$

Sn est une somme de Riemann relativement à foG^-1, fonction continue sur [0:A].

La suite (Sn) converge vers $3$\rm \Bigint_{0}^{A} foG^{-1}(u)du$ ie vers $3$\rm \Bigint_{0}^{1} f(t)g(t)dt$

Conclusion $3$\rm \lim_{n\infty} \frac{1}{n} \Bigsum_{i=1}^{n} f(x_{i})=\frac{\Bigint_{0}^{1} f(t)g(t)dt}{\Bigint_{0}^{1} g(t)dt}$

Posted by: Imod

J'ai du mal à voir le rapport avec l'exercice proposé , les $u_n$ sont calculés de proche en proche à partir des images par $f$ des termes précédents . D'autre part je ne vois pas bien comment on peut avoir unicité des valeurs $x_0,...,x_n$ et de $g$ ?

Imod

Posted by: Nightmare

D'accord, j'ai très mal lu l'énoncé, autant pour moi!