Décroissance radioactive

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Posted by: _-Gaara-_

Bonjour à tous,

Bon voilà çà concerne la démonstration de cette décroissance radioactive et je ne suis pas tout à fait sûr même si je tombe sur le bon résultat :

la décroissance radioactive véridie :
\Large{}- \delta N(t) = \lambda N(t) \delta(t)

Peut on se proposer de donner une solution de ce machin avec les intégrales ? genre voilà ce que je fait xD

\Large{}\int_{N_0}^{N(t)} N'(x)dx = -\lambda \int_{0}^{t} N(x)dt

donc la solution est

<br /> \Large{}\ln(\fr{N(t)}{N_0}) = -\lambda \times t

donc \Large{}\fr{N(t)}{N_0} = e^{-\lambda \times t}

c'est bon si j'écris çà à mon professeur ??


Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:
Posté par _-Gaara-_
Bonjour à tous,

Bon voilà çà concerne la démonstration de cette décroissance radioactive et je ne suis pas tout à fait sûr même si je tombe sur le bon résultat :

la décroissance radioactive véridie :
http://www.maths-forum.com/images/l...b76a78531e7.gif

Peut on se proposer de donner une solution de ce machin avec les intégrales ? genre voilà ce que je fait xD

http://www.maths-forum.com/images/l...7d0630d7e1a.gif

donc la solution est

http://www.maths-forum.com/images/l...643e257125a.gif

donc http://www.maths-forum.com/images/l...f249f4f4d81.gif

c'est bon si j'écris çà à mon professeur ??


Ton égalité d'intégrales et ton passage à la solution sont très olé olé....

En fait la décroissance radioactive s'écrite A = -dN(t)/dt, si j'appelle classiquement A l'activité c'est à dire le nombre de désintégration par seconde.
A = -dN(t)/dt est une équation différentielle assez classique dont la solution générale est une exponentielle. En intégrant l'équation différentielle (voir ton cours de math) on obtient N(t) = N0*e^(-lambda*t) où N0 est la constante d'intégration (N pour t=0) et lambda la constante de radioactivité.


Posted by: _-Gaara-_

lol je l'ai fait tout seul le cours sur les intégrales xD mais je voulais résoudre cette équation de façon "physique" ^^


donc sans avoir recours au cours de maths (ou de façon minime) comment faire pour rendre ce que j'ai fait plausible et rigoureux ?? :D


Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:
Posté par _-Gaara-_
lol je l'ai fait tout seul le cours sur les intégrales xD mais je voulais résoudre cette équation de façon "physique" ^^


donc sans avoir recours au cours de maths (ou de façon minime) comment faire pour rendre ce que j'ai fait plausible et rigoureux ?? :D


D'après ce que je sais du cours de maths de TS actuel, c'est le seul cas d'intégration d'équation différentielle que vous voyez en math, et encore sans l'appeler comme cela et pendant l'étude de la fonction exponentielle.

Tu ne peux malheureusement pas "bricoler" une solution sans intégrer l'équa diff.
Et il n'y a pas de façon "physique" d'intégrer une équa diff: on fait pareil en math et en physique!


Posted by: _-Gaara-_

Euh nous nous l'avons pas encore vu et je bloque totalement pour la démonstration


(et je meurs d'impatience de la démontrer ) donc il manque quoi à mon égalité d'intégrales ??

Encore merci Dominique ^^


Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:
Posté par _-Gaara-_
Euh nous nous l'avons pas encore vu et je bloque totalement pour la démonstration


(et je meurs d'impatience de la démontrer ) donc il manque quoi à mon égalité d'intégrales ??

Encore merci Dominique ^^


Juste une question pour commencer : sais-tu calculer une intégrale avec une borne variable?
Autre question : comment justifies-tu le choix de tes variables d'intégartion : un coup x, un coup t ?
et encore : comment passes-tu de l'équation différentielle que tu cites (qui est douteuse dans sa forme mathématique) à tes deux intégrales ?


Posted by: _-Gaara-_

Citation:
comment justifies-tu le choix de tes variables d'intégartion : un coup x, un coup t ?

Citation:
comment passes-tu de l'équation différentielle que tu cites (qui est douteuse dans sa forme mathématique) à tes deux intégrales ?



Notre prof de physique l'a fait en deux secondes et j'ai recopié quelques fragments de la démonstration sur une feuille mais il a vu qu'on avait pas fait les intégrales donc il a arrété ^^ j'ai essayé de chercher tout seul en reconstituant vite fait la démonstration (à l'arrache ^^ ) mais je ne trouve pas.

Citation:
sais-tu calculer une intégrale avec une borne variable?


je pense m'en sortir avec le cours ^^ mais je suppose que dans ce cas çà doit être simple non ??



Merciii

je viens de chercher sur le net et je tombe sur çà

http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/...hap6/c6p3D.html

çà devrait avoir un rapport dans la partie équa diff SSM non ?

PS: ce n'est pas un devoir maison ou un exercice ^^ juste une curiosité intellectuelle et de plus si cette question tombe en devoir sur table je me sentirai mieu si je la démontre bien comme il faut que bizarrement :S


Posted by: Dominique Lefebvre

On démontre d'habitude la loi de décrossance de la façon suivante:


On considère un nombre N0 de noyaux radioactifs à un instant t0

pendant une période courte notée http://www.maths-forum.com/images/l...aed0e38201a.gif on observe la désintégration d'un certain nombre http://www.maths-forum.com/images/l...661ee9d8588.gif .
Ce nombre est proportionnel :
- au nombre de noyaux N présents à la date t
- à la durée http://www.maths-forum.com/images/l...aed0e38201a.gif

On traduit cela mathématiquement par l'expression -http://www.maths-forum.com/images/l...661ee9d8588.gif= http://www.maths-forum.com/images/l...b3642ca147d.gifN http://www.maths-forum.com/images/l...aed0e38201a.gif. Le signe - est là parce le nombre d'atomes décroit.

On obtient donc l'équation - http://www.maths-forum.com/images/l...661ee9d8588.gif/N = http://www.maths-forum.com/images/l...b3642ca147d.gifhttp://www.maths-forum.com/images/l...aed0e38201a.gif

On passe aux limites (ça c'est de la bidouille de physicien!) et l'on obtient:
-dN/N = http://www.maths-forum.com/images/l...b3642ca147d.gifdt

Et maintenant seulement, tu pexu intégrer les deux membres entre t0=0 et t...
Ce qui te donne le résultat...


Posted by: _-Gaara-_

lol trop cool merci beaucoup Dominique ^^ je vais essayer çà et le poster ici ;)


Posted by: _-Gaara-_

Ha !!!

donc en intégrant on obtients :

\Large{}\int_{t_0}^{t} \fr{-dN}{N} = \int_{t_0}^{t} \lambda dt<br />

donc \Large{}\ln(\fr{N}{N(0)}) = -\lambda t


hurrrra!!! ensuite on passe à l'exponentielle et voilà le résultatttt :D

\Large{}N(t) = N_0 exp(- \lambda t)


Merciiiiiiiiiiii


Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:
Posté par _-Gaara-_
Ha !!!

donc en intégrant on obtients :

http://www.maths-forum.com/images/l...3f739e90e87.gif

donc http://www.maths-forum.com/images/l...1ff2372b6c4.gif


hurrrra!!! ensuite on passe à l'exponentielle et voilà le résultatttt :D

http://www.maths-forum.com/images/l...401aadaa399.gif


Merciiiiiiiiiiii


Voilà , comme ça c'est un peu plus propre...


Posted by: _-Gaara-_

hihi mercii beaucoup je suis content lol :D










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