decomposition unique

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Posted by: dilzydils

Bonjour

Pourquoi est ce que si un vecteur x se decompose de facon unique en x=x1+x2+...+xn où (x1,x2,...,xn) sont dans E1xE2x...xEn, ces derniers etant en somme directe alors x=0 implique x1=x2=...=xn=0??

Merci


Posted by: Chimomo

J'ai peur de ne pas bien comprendre ta question, pourrais tu préciser ce que tu appelle décomposer un vecteur (selon quoi le décomposes-tu?) et pourquoi x1=...=xn (peut être y a-t-il un =0 aprés).


Posted by: nekros

Salut,

Je crois que dilzydils fait référence à la somme directe d'où la décomposition unique et d'où le résultat.

Thomas G


Posted by: dilzydils

oui merci chimomo
je rectifie dans le 1er post


Posted by: nekros

Je me trompe dilzydils ?

Thomas G


Posted by: dilzydils

Tu as parfaitement raison nekros


Posted by: Chimomo

Dans ce cas, il te suffira d'écrire la définition de la somme directe et tu verras.


Posted by: dilzydils

justement, la definition que j'ai de la somme directe, c'est l'unicité de la decomposition...


Posted by: nekros

Ok,

Il suffit alors de connaître l'équivalence :

3$E=\sum_{k=1}^{n} E_k est directe si et seulement si la seule décomposition de 3$0_E dans 3$E est 3$0_E=\sum_{k=1}^{n} 0_{E_k}

Thomas G


Posted by: mathématicien arabe

bsr. Exactement NEKROS . parce que ya une équivalence entre les trois assertions ( la somme est directe des ss ev . la decomposition est unique. si x= 0 alors tous les Xi = 0). Comme tt a l heure . le mm truc pour comprendre prk il faut se référer a la démo . . C bien de faire une petite révision de l algébre linéaire c été avant la rentrée au lieu de partir a la plage


Posted by: nekros

Oui c'est vrai, d'autant plus que la démo n'est pas très compliquée.

Thomas G


Posted by: Chimomo

Alros vas y, démontre le dilzydils et si tu n'y arrive pas dit nous ce qui te gène.


Posted by: dilzydils

OK, c'est juste qu'on decompose aussi 0 dans les Ek et comme la decomposition est uniqe, on identifie...
Merci Nekros et chimomo


Posted by: nekros

Citation:
Posté par nekros
Ok,

Il suffit alors de connaître l'équivalence :

3$E=\sum_{k=1}^{n} E_k est directe si et seulement si la seule décomposition de 3$0_E dans 3$E est 3$0_E=\sum_{k=1}^{n} 0_{E_k}

Thomas G



Pour la première implication, c'est assez évident.
Supposons que 3$E=\sum_{k=1}^{n} E_k est directe.
On remarque que 3$\sum_{k=1}^{n} E_k est une somme finie de sous-espaces vectoriels, donc 3$\sum_{k=1}^{n} E_k est un sous-espace vectoriel de 3$E.
Par conséquent 3$0_E \in E.

Reste à prouver l'implication inverse.

Thomas G


Posted by: nekros

Une autre façon de le voir :

Soit 3$E=\sum_{k=1}^{n} E_k une somme directe.

On considère 3$(e_1,...,e_n) une base de 3$E.
On prend 3$(e_1,...,e_n_1) une base de 3$E_1, 3$(e_1,...,e_n_2) une base de 3$E_2 et ainsi de suite avec 3$1 \le n_1 \le n_2 \le ... \le n
Supposons que l'on ait 3$x=0_E=x_1+x_2+...+x_n avec 3$x_1=\sum_{k=1}^{n_1} \lambda_k e_k \in E_1 , 3$x_2=\sum_{k=n_1+1}^{n_2} \lambda_k e_k \in E_2 et ainsi de suite. (remarque : on peut écrire cette somme car on a une somme directe)
D'après l'hypothèse, on a donc 3$\sum_{k=1}^{n} \lambda_k e_k =0_E
Or, la famille 3$(e_1,...,e_n) est une famille libre car c'est une base.
On en déduit donc que 3$\lambda_k=0 pour tout 3$k \in [1,..,n] et par conséquent, 3$x_1=x_2=...=x_n=0_E, ce qu'il fallait démontrer.

Thomas G










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