Décomposition de Gauss

par **Alpha** » 04 Avr 2007, 22:03

Bonsoir,

Je travaillais sur des annales de mathématiques, et j'ai traité un sujet qui date d'avant la dernière réforme du programme de MP.
Il y est fait référence, pour le calcul de la signature d'une forme quadratique en dimension 2, de l'usage de la décomposition de Gauss. Or, si j'ai bien entendu parler de signature d'une forme quadratique cette année, je n'ai pas entendu parler de décomposition de Gauss, et même mon bouquin de cours ignore et la définition de la signature, et cette méthode.
J'ai aussi cherché sur Google mais je n'ai pas bien compris ce que j'ai trouvé.

Quelqu'un peut-il m'expliquer en quoi consiste cette méthode?

Merci.

par **Alpha** » 04 Avr 2007, 22:14

PS : je précise que la signature d'une forme quadratique est le couple (p,r-p) où p est le nombre de valeurs propres >0 de la matrice de q, et r son rang.

par **Blueberry** » 04 Avr 2007, 23:11

Bonjour alpha,

consulte un bouquin qui expose cette méthode :

Ramis/Deschamps/Odoux Cours de math sup tome 2
Arnaudièse/Fraysse Cours de math sup tome 4

C'est très clairement expliqué.

par **Alpha** » 04 Avr 2007, 23:27

Merci bien :happy3:, c'est noté (même si je ne sais pas si j'aurais le temps et l'occasion d'aller consulter ces bouquins...).

par **fahr451** » 05 Avr 2007, 05:26

bonjour

on peut écrire une forme quadratique comme cbl de carrés de formes linéaires indépendantes

dans le cas où K = R comme somme et différence

le nombre de + est : p et de - : s
p et s sont des invariants p = nbre de valeurs propres >0 , s <0

la méthode de gauss est élémentaire

sur un exemple

f(x,y,z) = x^2+ y^2 +xy + yz +2xz

il ya un carré x^2 donc on va faire rentrer tous les termes en x dans ce carré

f(x,y,z) = (x+ 1/2y + z)^2 +forme quadratique en y et z seulement
et on recommence il est clair que les formes linéaires seront indépendantes (y a une variable qui disparait à chaque fois)

lorsqu'il n'y a pas de terme carré
exemple f(x,y,z,t) = xy +xz +yz +2xt +3yt+zt
on prend un terme rectangle (non nul) disons xy et on va "supprimer

x et y " avec la différence de 2 carrés de forme linéaire

f(x,y,z) = xy +x( z+2t) +y( z+3t) +zt = (x +z+3t)(y+z+2t) + formequa dra en z ,t

or uv = (1/4)(u+v)^2 -(1/4) (u-v)^2

où u = x+z+3t et v = y+z+2t
u+v et u-v sont clairement indépendantes

et on continue avec z et t

d'où la signature ( et le rang en particulier)

par **Alpha** » 05 Avr 2007, 12:38

Merci fahr :happy3:

par **Alpha** » 05 Avr 2007, 12:58

Je ne peux résister, sous la pression insoutenable de mon humour irrésistible, à l'envie de te demander, fahr, vue l'heure à laquelle a été écrit ton message, si tu habites sur le même fuseau horaire que nous, ou un autre.

Habiterais-tu donc si loin? So fahr away? :ptdr:

:lol4:

par **Joker62** » 05 Avr 2007, 13:00

Ou bien es-tu tout simplement assez dingue pour te lever si tôt !!!! ???

par **fahr451** » 05 Avr 2007, 17:20

so fahr away from LA i m no one but a shadow

par **Alpha** » 05 Avr 2007, 19:21

But a shadow... a shadow... :we:

par **Dominique Lefebvre** » 05 Avr 2007, 19:27

Puis je me permettre une rapide digression? J'aime bien la nouvelle signature d'alpha (dont il a changé l'ordre très récemment...).

MP (sans oublier le star) 20 ans LIBRE (sans oublier les majuscules...) : décrire sa vie et son état en trois mots! Bravo :ptdr: :ptdr: :ptdr:

Et l'ordre a semble-t-il de l'importance...

Fin de la digression.

par **Joker62** » 05 Avr 2007, 22:29

Moi j'aime bien la mienne mais tout le monde s'en fiche :D

par **Alpha** » 05 Avr 2007, 22:38

La tienne est une blague ô combien connue des matheux, Joker!

Et sinon, Dominique, merci, je suis ravi que tu apprécies ma signature :ptdr:

Oui, l'ordre a de l'importance, et oui, je suis trop fort, je décris ma vie et mon état en trois mots! :ptdr: Je reconnais que je suis moi-même assez fier de la brièveté et de l' "efficacité" de la formule.

En tout cas le sens profond de ma signature n'a pas échappé à ta perspicacité :lol4:

par **nuage** » 05 Avr 2007, 23:21

Joker62 a écrit:Moi j'aime bien la mienne mais tout le monde s'en fiche

:id: je l'aime bien aussi mais je ne sais pas assez bien compter pour vérifier son exactitude. :zen:

par **sandrine_guillerme** » 05 Avr 2007, 23:22

Et moi je confirme ce qu'à dis Paul !!!!!

Paul tu ne sais pas compter jusqu'à 4 toi !!!!

Booooh !

:zen:

par **nuage** » 05 Avr 2007, 23:42

Mais je sais quand même compter jusqu'à 1 :briques: , c'est déjà pas si mal.

par **sandrine_guillerme** » 05 Avr 2007, 23:48

C'est ce que j'ai dis !!! :zen: lol

En tout cas j'aime bien le proverbe de Jok aussi, et puis ZUT ! arrête de te plaindre !! :hum:

par **Alpha** » 06 Avr 2007, 19:50

Y a-t-il un latiniste qui n'ait pas perdu son latin pour me dire ce que signifie :
usque ad polos dans la signature de nuage?

A ce propos, c'est quand même marrant qu'une question sur la signature d'une forme quadratique se soit transformée en une discussion sur nos signatures, non?

par **sandrine_guillerme** » 06 Avr 2007, 21:05

loooooooool :ptdr: :ptdr: ptdr: :ptdr: :ptdr:

tout à fait !

P.S: jose_latino peut nous expliquer s'il est là !

par **nuage** » 06 Avr 2007, 23:39

Salut,

Alpha a écrit:Y a-t-il un latiniste qui n'ait pas perdu son latin pour me dire ce que signifie :
usque ad polos dans la signature de nuage?

A ce propos, c'est quand même marrant qu'une question sur la signature d'une forme quadratique se soit transformée en une discussion sur nos signatures, non?

Il s'agit toujours de signature.
Quand à la signification de la mienne...
C'est du latin du XII°.

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